\documentclass[12pt,titlepage]{article}

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% $Log: dgl1.tex,v $
% Revision 1.14  2009/02/02 10:09:19  stefan
% fixed typo
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% Revision 1.13  2009/01/26 10:38:03  stefan
% fixed typo
%
% Revision 1.12  2002/12/30 11:06:37  stefan
% First round of typos, but this should be pretty much ready.
%
% Revision 1.11  2002/12/27 13:14:10  boresch
% Weitgehende Ergaenzungen und Beispiele zum Suchen der part, Loesung
% bei DGL 2. Ordnung. Im Abschnitt Randbedingungen als abschliessendes
% Bsp. 1D Schroedingergleichung fuer Teilchen im unendl. hohen Potentialtopf.
% Korrektur eines Tippfehlers.
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% Revision 1.10  2002/12/03 10:43:43  stefan
% This should resolve the pdf problem. Despite the dvips option, dvips
% must be called with -t a4 to pass the information that we are using
% A4 paper further --- grrrh
%
% Revision 1.9  2002/12/02 12:33:51  stefan
% Some finetuning for pagelayout will be necessary for pdf...
%
% Revision 1.8  2002/12/02 12:21:56  stefan
% Tibor's Korrekturen
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% Revision 1.7  2002/11/28 13:03:52  stefan
% As far as I'm concerned first final version. (Major rearrangement
% for Variation der Konstanten bei DGL 2. Ordnung).
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% Revision 1.6  2002/11/27 11:50:16  stefan
% My check until 2nd order.
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% Revision 1.5  2002/11/23 17:14:14  boresch
% Maybe one final proofread, but this should be close to finished!
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% Revision 1.4  2002/11/22 16:13:30  stefan
% Added pictures, which was surprisingly easy.
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% Revision 1.3  2002/11/11 10:38:23  stefan
% First round of corrections
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% Revision 1.2  2002/11/08 16:21:18  stefan
% First complete draft
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% Revision 1.1  2002/11/06 14:04:14  stefan
% Initial revision
%
%

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\lhead{\small \scshape Stefan Boresch}
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\rhead{{\small \scshape Gew\"ohnliche DGL}, Kap.\ \thesubsection}
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\cfoot{\thepage}
\rfoot{}

\newcounter{ex}

\begin{document}

\begin{titlepage}
\thispagestyle{empty}
\vspace*{2cm}
\begin{center}

{\huge \sffamily Gew\"ohnliche Differentialgleichungen}\\[1cm]
{\large \sffamily Eine Kurzeinf\"uhrung im Rahmen der Vorlesung ``Mathematik und Statistik
f\"ur Molekularbiologen''}

\vspace{1.5cm}
{\scshape Stefan Boresch}\\
stefan$\,$@$\,$mdy.univie.ac.at, http://www.mdy.univie.ac.at/en/sbhome.html\\
Molecular Dynamics and Biomolecular Simulation Group,\\
Institut f\"ur Theoretische Chemie und Molekulare Strukturbiologie,\\
Universit\"at Wien, W\"ahringerstra{\ss}e 17, 1090 Wien, Austria

\vspace{1.5cm}
\today

\end{center}
\end{titlepage}

\thispagestyle{empty}

\vspace*{5cm}

\begin{center}
Copyright (c) 2002 Stefan Boresch
\end{center}

\vspace{2cm}

\noindent 
Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document
under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2
or any later version published by the Free Software Foundation;
with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts.
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\noindent Although every reasonable effort has been made to
incorporate accurate and useful information into this booklet, the
copyright holder makes no representation about the suitability of this
book or the information therein for any purpose. It is provided ``as
is'' without expressed or implied warranty. In particular, the
copyright holder declines to be liable in any way should errors result
from the use of the examples and the information given here in
practical work.


\vfill

\newpage

\section*{Vorbemerkung}

Eine ganz kurze Anmerkung zum verwendeten Schriftsatz.  Die normale
Schriftgr\"o{\ss}e wird f\"ur essentielles Material verwendet.

\noindent{\small L\"angere Beispiele sind einerseits um Platz zu sparen,
andererseits um sie optisch ein wenig zu kennzeichnen in einem etwas
kleinerem Font geschrieben}

\noindent{\tiny Zus\"atzliche Beispiele, optionales Material, Nebenbemerkungen
usw.\ schlie{\ss}lich sind ``wirklich klein'' gehalten.}

\noindent Der Stoff von Abschnitten \ref{vdk} und \ref{arb} dient der
Vertiefung f\"ur Interessierte und ist optional!

\section{Einleitung}

\subsection{Ein erstes Beispiel --- die {\em quadrierbare} Differentialgleichung 1.\ Ordnung}


 Sie alle haben bereits folgenden Typ von Differentialgleichungen (DGL) gel\"ost bzw.\ wissen,
wie er zu l\"osen ist:
\begin{equation}
\label{tr1}
y'-h(x)=0
\end{equation}
In Gl.\ \ref{tr1} versteht sich $y'=y'(x)$ und gefragt ist nach $y(x)$.\footnote{Wenn nicht der physikalische, biologische, chemische Kontext andere Symbole 
nahelegt, ist es auf dem Gebiet der DGL \"ublich, die gesuchte Funktion als
$y=y(x)$ anstatt $f(x)$ anzuschreiben. Wir folgen dieser Konvention.}
Wenn gilt, da{\ss}
\[y'(x)=\frac{dy}{dx}=h(x),\]
so mu{\ss} nach dem Hauptsatz der Infinitesimalrechnung gelten, da{\ss}
\begin{equation}
\label{tr2}
y(x)=\int dx\, h(x) + C.
\end{equation}
(Auf die wichtige Rolle der Integrationskonstanten (von uns beim
Integrieren immer stiefm\"utterlich behandelt) beim L\"osen von DGL
kommen wir gleich zu sprechen.) Gleichung \ref{tr2} ist die L\"osung
der DGL Gl.\ \ref{tr1}.  Ob das Integral l\"osbar ist oder nicht spielt
\"ubrigens eine untergeordnete Rolle, vom Standpunkt des L\"osens der DGL
ist nur wichtig, die Ableitung(en) wegbekommen zu haben. ({\em Nat\"urlich
wird von Ihnen erwartet, da{\ss} Sie l\"osbare Integrale, ggf.\ unter
Verwendung der Formelsammlung, auch l\"osen!!})

Beim L\"osen von DGL (vor allem 1.\ Ordnung) bew\"ahrt sich die Leibnitz'sche
Schreibweise der Ableitung, d.h.\ $y'(x)=\frac{dy}{dx}$. L\"osen
wir Gleichung \ref{tr1} nochmals ganz schrittweise:
\[\frac{dy}{dx}=h(x)\]
\[dy=dx\,h(x)\qquad\mbox{(A)}\]
\[\int dy = \int dx\,h(x) \]
\[y + c_1 =  \int dx\,h(x)+c_2\qquad\mbox{(B)}\]
\[y=\int dx\,h(x)+C\]
Der interessante Schritt ist (A).  Wie Sie sehen, jongliert man mit
den Differentialen ganz ungest\"ort, als ob $\frac{dy}{dx}$ ein
normaler Bruch w\"are.  Man darf das, und es wird sich in den folgenden
Abschnitten als n\"utzlich erweisen.

Im Prinzip (s.\ Zeile (B)) erh\"alt man nat\"urlich sowohl auf der
linken, als auch auf der rechten Seite eine Integrationskonstante.
Man fa{\ss}t die beiden aber immer zu einer zusammen, was dann zu Gleichung
\ref{tr2} f\"uhrt.  Die Rolle der Integrationskonstanten verdeutlicht
am besten ein Beispiel:
\[y'(x)=x^2\]
\begin{equation}
\label{tr3}
y=\int dx\,x^2+C=\frac{x^3}{3}+C
\end{equation}
\"Uberlegen Sie sich, was die L\"osung Gl.\ \ref{tr3} eigentlich bedeutet:
Die L\"osung $y=x^3/3+C$ ist nicht eindeutig, es gibt abh\"angig vom Wert
der Integrationskonstanten $C$ unendlich viele L\"osungen, einige
davon sind  in Abbildung \ref{fig1} gezeigt.

\begin{figure}
\begin{center}
\begin{minipage}{\textwidth - 2cm}
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}%
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-2,-4)(2,4)
\psaxes[Dx=1,Dy=1]{<->}(0,0)(-2.,-4)(2,4)%
\psplot[plotpoints=200,linewidth=2.5pt]{-4.5}{4.5}{x 3 exp 3 div 1 add }
\psplot[plotpoints=200,linewidth=0.5pt]{-4.5}{4.5}{x 3 exp 3 div -1.5 add }
\psplot[plotpoints=200,linewidth=0.5pt]{-4.5}{4.5}{x 3 exp 3 div -1 add }
\psplot[plotpoints=200,linewidth=0.5pt]{-4.5}{4.5}{x 3 exp 3 div -0.5 add }
\psplot[plotpoints=200,linewidth=0.5pt]{-4.5}{4.5}{x 3 exp 3 div 0 add }
\psplot[plotpoints=200,linewidth=0.5pt]{-4.5}{4.5}{x 3 exp 3 div 0.5 add }
\psplot[plotpoints=200,linewidth=0.5pt]{-4.5}{4.5}{x 3 exp 3 div 1.5 add }
\rput(-1.25,3){$y(x)=\displaystyle{\frac{x^3}{3}+C}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\caption[Die Rolle der Anfangsbedingung]{\label{fig1}
Einige m\"ogliche L\"osungen der
DGL $y'=x^2$. Gezeichnet ist die Funktionenschar mit $C=-1.5$, $-1.0$, $-0.5$, $0.0$, $+0.5$, $+1.0$, $+1.5$. Die spezielle
L\"osung $C=1$, die der AB $y(0)=1$ gen\"ugt, ist fett gezeichnet.}
\end{minipage}
\end{center}
\end{figure}

Man bezeichnet Gl.\ \ref{tr3} daher als die {\em allgemeine} L\"osung der
DGL $y'=x^2$.  Erst durch hinzuf\"ugen einer {\em Anfangsbedingung} (AB) 
kommt es zur {\em speziellen} L\"osung.  Wenn wir z.B. in unserem
Beispiel verlangen, das $y(0)=1$ ist, so erf\"ullt nur mehr genau eine
Funktion sowohl die DGL, als auch die AB:  Es gilt jetzt
\[
y(0)=\frac{1}{3}\,0+C=1
\]
und somit findet man $C=1$.  Die spezielle L\"osung dieses Beispiels
lautet also
\[
y(x)=\frac{x^3}{3}+1.
\]
Hier in der Vorlesung liegt das Schwergewicht auf dem Suchen der
allgemeinen L\"osung f\"ur einige wichtige Typen von DGL.  In den
Anwendungen sind jedoch die AB, die sich aus der jeweiligen
physikalischen, chemischen oder biologischen Problemstellung ergeben, 
oft ebenso wichtig.  


\subsection{\"Uberblick und Nomenklatur}

Als gew\"ohnliche Differentialgleichungen (DGL) bezeichnet man Gleichungen,
die eine Funktion $y$ {\em einer} Variablen $x$, $y=y(x)$, in Beziehung mit
ihren Ableitungen setzt, d.h.,
\begin{equation}
\label{dgl1}
F(x,y(x),y'(x),y''(x),\ldots,y^{(n)}(x))=0
\end{equation}
(Ist $y=y(x_1, x_2, \ldots, x_m)$ eine Funktion mehrerer Ver\"anderlicher,
so spricht man von {\em partiellen} Differentialgleichungen --- diese werden
in dieser Lehrveranstaltung nicht behandelt.)

Das L\"osen von DGL h\"angt wie Sie sehen werden sehr von
der Form der jeweiligen Gleichung ab.  Es ist daher sehr wichtig, DGL
zu klassifizieren, d.h.\ beinahe wie in Botanik oder Zoologie eine
Einteilung nach bestimmten Merkmalen vorzunehmen. Diese Klassifizierung 
ist der erste Schritt zur L\"osung
einer DGL.  Hat man n\"amlich die DGL zugeordnet, durchsucht man 
Formelsammlungen bzw.\ spezielle Lehrb\"ucher, ob es f\"ur diesen Typ von
DGL einen L\"osungsansatz (``Kochrezept'') gibt, oder ob diese Gleichung
nicht allgemein l\"osbar ist (was durchaus auch vorkommen kann).

Die beiden wichtigsten Kriterien sind {\em Ordnung} der DGL, sowie die Frage,
ob es sich um eine {\em lineare} oder {\em nichtlineare} DGL handelt.

\paragraph{Ordnung:} Die h\"ochste Ableitung, die in einer DGL (Gl.~\ref{dgl1})
vorkommt, bestimmt die Ordnung der DGL, z.B. sind
\[y''-5y=0\]
eine DGL 2.\ Ordnung, 
\[y^{(5)}-\sin x y'+e^x=0\]
eine DGL 5. Ordnung und
\[y^2(1+(y')^2)-1=0\]
eine DGL 1.\ Ordnung.

\paragraph{Linearit\"at:} In linearen DGL treten {\em keine} Produkte oder nichtlineare
Funktionen von $y(x)$ (d.h. der gesuchten Funktion) und deren Ableitungen
auf.  Z.B. sind
\[\sqrt{\frac{1-a^x}{\sin(x^2)}}\;y'-\tan(x^{-1})\;y-e^{\cos x}=0\]
eine lineare DGL 1.\ Ordnung,
\[y^2(1+(y')^2)-1=0\]
jedoch eine nichtlineare DGL 1.\ Ordung (wegen der Produkte $y^2$ und $y'^2$!).

Die allgemeinste lineare DGL $n$-ter Ordnung hat die Form
\[b_n(x)y^{(n)}+b_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\ldots+b_1(x) y'(x)+b_0(x)y(x)=g(x),\]
welche man gew\"ohnlich in der Standardform
\begin{equation}
\label{lin}
y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\ldots+a_n(x) y(x)=h(x).
\end{equation}
schreibt ($a_1(x)=b_{n-1}(x)/b_n(x)$, \ldots, $h(x)=g(x)/b_n(x)$).
Die Chancen, eine lineare DGL zu l\"osen, stehen im allgemeinen um vieles
besser als bei nichtlinearen DGL.

\section{Zu Differentialgleichungen 1.\ Ordnung}


\subsection{Separierbare DGL}

\subsubsection{Lineare, separierbare DGL}

Nach dieser \"Ubersicht auf zum ersten Typ von DGL, deren
L\"osung man nicht sofort hinschreiben kann. 
\begin{equation}
\label{sep1}
y'=k\, y,
\end{equation}
wobei $k$ ein Konstante ist. In Gleichung \ref{sep1} kommen sowohl die gesuchte Funktion $y(x)$ als
auch ihre Ableitung $y'(x)$ vor.  Der Systematik wegen halten wir
fest, da{\ss} die Gleichung sowohl in $y$ als auch in $y'$ linear ist.
Zur L\"osung schreibt man die Ableitung in Leibnitz'scher Notation:
\[\frac{dy}{dx}=ky\]
Man sieht jetzt, da{\ss} man ganz einfach alle Terme die $y$ enthalten auf
eine, und alle Terme die $x$ enthalten auf die andere Seite bringen
kann:
\[\frac{dy}{y}=k\, dx\qquad\mbox{(A)}\]
Sobald man diese Umformung durchgef\"uhrt hat, kann man linke und rechte
Seite integrieren, d.h.
\[\int \frac{dy}{y}=k\int dx\]
\[\ln y = k\,x +\tilde c.\]
Im letzten Schritt wurden wieder die Integrationskonstanten von linker
und rechter Seite zu $\tilde c$ zusammengefa{\ss}t. Um auf die Form ``$y=$''
zu kommen, wenden wir die Exponentialfunktion auf beide Seiten an und
erhalten:
\begin{equation}
\label{sep2}
y=e^{k\,x+\tilde c}=e^{\tilde c}e^{k\,x}=Ce^{k x}
\end{equation}
Um sich den unhandlichen Faktor $e^{\tilde c}$ zu ersparen, f\"uhrt
man kurzer Hand die neue Konstante $C=e^{\tilde c}$ ein.

DGL erster Ordnung, bei denen wie in Schritt (A) alle $x$ enthaltenden Faktoren auf die
eine, alle $y$ enthaltenden Faktoren auf die andere Seite gebracht
werden k\"onnen hei{\ss}en {\em separierbar}.

{\small
Gleichungen vom Typ Gl.\ \ref{sep1} sind von \"au{\ss}erster Wichtigkeit
in Chemie und Biologie.  Die Geschwindigkeit einer (bio)chemischen Reaktion
(d.h. die Ableitung der Konzentration $c$ nach der Zeit $t$, $\frac{dc}{dt}$)
oder die \"Anderung der Gr\"o{\ss}e einer Population $P$ mit der Zeit
($\frac{dP}{dt}$) sind oft (in erster N\"aherung) der Konzentration bzw.
Population proportional. Durch einfaches Umbenennen der Variablen erh\"alt
man aus Gl.~\ref{sep1}
\[\frac{dP(t)}{dt}=k\,P(t),\]
was besagt, da{\ss} die \"Anderungsrate der Population zu einem
bestimmten Zeitpunkt $t$, $\frac{dP}{dt}$, von 
der Gr\"o{\ss}e der Population zu diesem Zeitpunkt abh\"angt.  Die L\"osung
der Gleichung ist Gl.~ \ref{sep2}, d.h.
\[P(t)=Ce^{k\,t}.\]
Eine vern\"unftige Anfangsbedingung ist jetzt zum Beispiel die Forderung,
da{\ss} die Population zum Zeitpunkt $t=0$ (dem Beginn der Beobachtung) 1.000 St\"uck betragen hat.
Durch Einsetzen dieser Bedingung $P(0)=1.000$ findet man die
spezielle L\"osung
\[P(t)=1.000 \times e^{k\,t}.\]

Nun wissen Sie, da{\ss} Wachstum einer Population selten in eine
Richtung geht.  Ein Versuch, zyklisches Verhalten zu modellieren
besteht darin, $P(t)$ mit einer oszillierenden Funktion, z.B.\ einer
Winkelfunktion zu ``modulieren''. Die resultierende DGL
\begin{equation}
\label{sep3}
\frac{dP}{dt}=k\, P\, \cos(rt)
\end{equation}
ist noch immer linear in $P$ und $P'=\frac{dP}{dt}$, und der Faktor
$\cos(rt)$ \"andert auch nichts an der Separierbarkeit.
Wir bekommen jetzt
\[\frac{dP}{P}=k \cos(rt) dt\]
\[\int\frac{dP}{P}=k \int  \cos(rt) dt\]
\[\ln P= k \frac{1}{r} \sin(rt)+\tilde c\]
\[P=C\exp\left(\frac{k}{r}\sin(rt)\right)\]
Beachten Sie, da{\ss} sich an den Rechenschritten nichts ge\"andert hat, nur
das Integral auf der rechten Seite ist ein bi{\ss}chen komplizierter
geworden. Formuliert man diesmal die AB allgemeiner als
$P(t=0)=P_0$, so erh\"alt man als spezielle L\"osung
\[P(t)=P_0\times\exp\left(\frac{k}{r}\sin(rt)\right)\]
\begin{figure}
\begin{center}
\begin{minipage}{\textwidth-2cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}%
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-2,-1)(12,6)
\psset{xunit=1cm,yunit=0.001cm}%
\psaxes[Dx=1,Dy=1000]{<->}(0,0)(0.,0)(12,6000)%
\psplot[plotpoints=200,linewidth=1.5pt]{0}{12}{2000 2.71828 x 57.2958 mul sin exp mul}
\rput(5,4000){$y(x)=\displaystyle{2000\times e^{\sin t}}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\caption{\label{fig2}
Grafische Darstellung der L\"osung der DGL $\frac{dP}{dt}=kP\cos(rt)$
f\"ur den Fall $k=r=1$. $P_0$ wurde auf 2,000 gesetzt.}
\end{minipage}
\end{center}
\end{figure}
{\tiny Ich empfehle Ihnen, als \"Ubung eine Kurvendiskussion der L\"osungsfunktion
durchzuf\"uhren, die in Abbildung \ref{fig2} dargestellt ist.
Als weitere \"Ubungsaufgabe l\"osen Sie die DGL
\[\frac{dP}{dt}=k\, P\, \cos^2(rt)\]
und vergleichen Sie das Verhalten der L\"osung mit der L\"osung von
(\ref{sep3}).}
}

\subsubsection{Nichtlineare, separierbare DGL}

Eine separierbare DGL mu{\ss} nicht einmal linear sein. (DGL
1.\ Ordnung stellen insofern eine Ausnahme dar, als in diesem Fall auch
viele nichtlineare DGL allgemein l\"osbar sind.) Sei
\begin{equation}
\label{sep4}
y'=\frac{dy}{dx}=h(y)g(x)
\end{equation}
Da wir noch immer nach $y$ und $x$ auftrennen k\"onnen, erhalten wir sofort
\[\frac{dy}{h(y)}=g(x)dx,\]
welches sofort allgemein gel\"ost werden kann:
\begin{equation}
\label{sep5}
\int\frac{dy}{h(y)}=\int g(x)dx+C
\end{equation}

{\small 
\paragraph{$\blacktriangleright$ Beispiel:} Gesucht
sei die L\"osung der DGL
\[y'=\sqrt{y}\cos x\]
mit AB $y(0)=1$.  

Trennung der Variablen ergibt
\[\frac{dy}{\sqrt{y}}=\cos x \,dx\]
und durch Integration finden wir
\[\int\frac{dy}{\sqrt{y}}=2y^{1/2}=\int\cos x \,dx=\sin x+\tilde c\]
oder
\[y=\left(\frac{1}{2}\sin x +C\right)^2\]
Einsetzen der AB ergibt $y(0)=1=C^2$, somit ist 
\[y=\left(\frac{1}{2}\sin x +1\right)^2\]
die gew\"unschte spezielle L\"osung (NB: $C=-1$ ist auch eine L\"osung!). {\em Machen Sie zur \"Ubung die Probe!!}}\hfill $\blacktriangleleft$

\subsection{Inhomogene, lineare DGL 1.\ Ordnung}

Die inhomogene, lineare DGL 1.\ Ordnung hat die allgemeine Form
\[b_1(x)y'(x)+b_0(x)y(x)=g(x).\]
Division durch $b_1(x)$ 
\[y'(x)+\frac{b_0(x)}{b_1(x)}y(x)=\frac{g(x)}{b_1(x)}\]
f\"uhrt auf die Standardform
\begin{equation}
\label{lin1:1}
y'(x)+a_1(x)y(x)=h(x)
\end{equation}
(vgl.\ Gl.\ \ref{lin}).  Ist $h(x)=0$, so spricht man von einer {\em
homogenen}, ansonsten von einer {\em inhomogenen}, linearen DGL 1.\ Ordnung.

Der homogene Fall bietet nichts Neues, denn einfaches Umformen f\"uhrt auf
\[y'=-a_1(x)y.\]
Dies ist aber eine (lineare) separierbare Gleichung.  Unter diesem
Gesichtspunkt sind Gleichungen \ref{sep1} und \ref{sep3} nat\"urlich
auch homogene, lineare DGL 1.\ Ordnung.

\subsubsection{Theorie: \"Uberlegungen zur Natur der L\"osung der inhomogenen Gleichung}

Im allgemeinen, inhomogenen Fall ist eine Trennung der Variablen 
jedoch nicht m\"oglich (das sieht man sofort wenn man Gl.\ \ref{lin1:1}
auf die Form
\[y'=-a_1(x)y+h(x)\]
bringt). Bevor wir uns ansehen, wie man in der Praxis die L\"osung
der inhomogenen Gleichung findet, sollten wir uns kurz den Kopf \"uber
die Natur dieser L\"osung zerbrechen.  Nehmen wir einmal an, wir
h\"atten (wie auch immer) {\em zwei} L\"osungen der inhomogenen
Gleichung \ref{lin1:1}, $y_1(x)$ und $y_2(x)$ gefunden. Damit 
sind folgende beide Gleichungen erf\"ullt:
\begin{eqnarray*}
y_{1}'(x)+a_1(x)y_1(x)&=&h(x)\\
y_{2}'(x)+a_1(x)y_2(x)&=&h(x)
\end{eqnarray*}
Zieht man die zweite von der ersten der beiden Gleichungen
ab, so erh\"alt man
\[
\underbrace{(y_{1}'(x)-y_2'(x))}_{\Delta y'(x)}+
a_1(x)\underbrace{(y_1(x)-y_2(x))}_{\Delta y(x)}=0
\]
Zun\"achst sieht man, da{\ss} die Differenz der beiden L\"osungen
$\Delta y(x)=y_1(x)-y_2(x)$ eine L\"osung der homogenen DGL
$y'(x)+a_1(x)y(x)=0$ ist.  Das bedeutet aber gleichzeitig,
da{\ss} ich auch schreiben kann
\begin{eqnarray*}
y_1(x)& = &\Delta y(x)+y_2(x)\\
y_2(x)& = &-\Delta y(x)+y_1(x)
\end{eqnarray*}
Das hei{\ss}t aber jetzt, da{\ss} ich z.B.\ durch meine zweite
L\"osung der inhomogenen Gleichung $y_2$ nicht mehr komplett neue
Information gewonnen habe, denn z.B.\ l\"a{\ss}t sich $y_2$  additiv
aus einer L\"osung der homogenen Gleichung $\Delta y=y_H$ und $y_1$ zusammensetzen.

Folglich  besteht die allgemeinste L\"osung von DGL (\ref{lin1:1})
aus der allgemeinen L\"osung $y_H$ der entsprechenden homogenen Gleichung
\begin{equation}\label{lin1:2}y_H'(x)+a_1(x)y_H(x)=0,\end{equation}
und der sogenannten {\em partikul\"aren} L\"osung $y_P$, die die
inhomogene Gleichung erf\"ullt. Weiters, wenn $y_H$ eine L\"osung der homogenen
Gleichung \ref{lin1:2} ist, so ist auch $C\times y_H$, $C\in\mathbb{R}$ (oder sogar
$C\in\mathbb{C}$) eine L\"osung von (\ref{lin1:2}). Diese Konstante $C$ ist
die Integrationskonstante, die man beim L\"osen der separierbaren, homogenen Gleichung automatisch bekommt.  Zusammenfassend
ist die L\"osung von (\ref{lin1:1}) durch
\begin{equation}
\label{lin1:3}
y=Cy_H+y_P
\end{equation}
gegeben.
Da wir entsprechend unserer \"Uberlegung nur
irgendeine partikul\"are L\"osung brauchen, gen\"ugt es auch die
Integrationskonstante in der L\"osung der homogenen Gleichung zu 
ber\"ucksichtigen.  Der L\"osungsweg f\"ur inhomogene, lineare DGL 1.\ Ordnung
besteht also aus dem L\"osen der homogenen Gleichung, welche separierbar und
damit ohne Probleme l\"osbar ist, und dem Finden einer partikul\"aren
L\"osung.

\subsubsection{Praxis: L\"osung durch Variation der Konstanten}

Die gesuchte partikul\"are L\"osung $y_P$ l\"a{\ss}t sich {\em immer} durch
eine Methode finden, die als {\em Variation der Konstanten} bezeichnet
wird.  Sie l\"a{\ss}t sich am besten durch ein Beispiel illustrieren.
Gesucht ist die L\"osung der Gleichung:
\[y'+ky=x^2\]
Diese Gleichung ist insofern speziell als der Faktor
$a_1(x)=k$ eine Konstante ist, man spricht auch von einer 
inhomogenen linearen DGL 1.\ Ordnung mit {\em konstanten Koeffizienten}.
Die L\"osung der homogenen Gleichung $y'+ky=0$ ist wie man sich
unschwer \"uberzeugen kann durch
\[y_H=Ce^{-kx}\]
gegeben. 

Die
Integrationskonstante $C$ wird nun in eine Funktion $C(x)$ ``verwandelt'',
{\em daher auch der Name ``Variation der Konstanten''}.  Der Ansatz f\"ur die Variation der Konstanten lautet daher
\begin{equation}\label{vdc} y_P=C(x)e^{-kx}.\end{equation}
Mit $y_P'=C'(x)e^{-kx}-kC(x)e^{-kx}$ erh\"alt man
nach Einsetzen und Vereinfachen in die inhomogene Gleichung folgende
DGL f\"ur $C(x)$
\[y_P'+k\,y_P=
\underbrace{C'(x)e^{-kx}-kC(x)e^{-kx}}_{y_P'}+
k\underbrace{C(x)e^{-kx}}_{y_P}=C'(x)e^{-kx}=x^2.\]
\[C'(x)=x^2 e^{kx}\]
{\em Das Wegheben der Terme mit $C(x)$ ist kein Zufall, im Gegenteil: Wenn sie sich nicht wegheben, dann liegt
ein Rechenfehler vor!!} Man findet (durch zweimalige partielle Integration
oder Integraltafel)
\[C(x)=\int dx\,x^2 e^{kx} =e^{kx}\left(\frac{x^2}{k}-\frac{2x}{k^2}+\frac{2}{k^3}\right)\]
und somit f\"ur 
\[y_P=C(x) e^{-kx}=\frac{x^2}{k}-\frac{2x}{k^2}+\frac{2}{k^3}\]
Die komplette L\"osung der DGL ist daher
\[y=y_H+y_P=Ce^{-kx}+\frac{x^2}{k}-\frac{2x}{k^2}+\frac{2}{k^3}\]

{\tiny 

Wenn man konstante Koeffizienten $a_1$ und $a_0$ hat, kann man
die Variation der Konstanten durch ``kreatives Raten'' ersetzen.
Diese Technik ist bei linearen DGL mit konstanten Koeffizienten
h\"oherer Ordnung sehr wichtig (siehe unten), weil sie im Vergleich
zur --- auch dort m\"oglichen --- Variation der Konstanten deutlich weniger
Rechenaufwand bedingt.  Bei Gleichungen erster Ordnung ist der
Zeitgewinn nicht so gro{\ss}, aber es ist eine gute Gelegenheit um das
Prinzip kennenzulernen.

In unserem Beispiel ist die Inhomogenit\"at $h(x)=x^2$ (man bezeichnet
$h(x)$ auch als {\em St\"orfunktion}).  Man vermutet daher, da{\ss}
eine partikul\"are L\"osung die Form $y_P=ax^2+bx+c$ haben k\"onnte,
wobei $a$, $b$ und $c$ durch Koeffizientenvergleich in folgender Weise
bestimmt werden. Wir haben
\begin{eqnarray*}
y_P &=& ax^2+bx+c\\
y_P' &=&2 ax+b
\end{eqnarray*}
Damit setzen wir in die DGL ein:
\[\underbrace{2 ax+b}_{y_P'}+k(\underbrace{ax^2+bx+c}_{y_P})=x^2\]
Nach dem Ausmultiplizieren der linken Seite und Ordnen der Terme 
nach Potenzen von $x$ findet man
\[
\underbrace{ka}_1 x^2+\underbrace{(2a+kb)}_0 x+\underbrace{(b+ck)}_0=1\cdot x^2+0\cdot x + 0
\]
Durch Vergleich der Vorfaktoren von $x^2$ auf linker und rechter
Seite folgt, da{\ss}
\[ka=1\quad\Rightarrow\quad a=\frac{1}{k}.\]
Auf der rechten Seite kommt weder $x$ noch eine Konstante vor, daher
mu{\ss} $2a+kb=0$ und $b+ck=0$ gelten. Da wir $a$ schon kennen, findet
man unschwer $b=-\frac{2}{k^2}$ und $c=\frac{2}{k^3}$. Durch
R\"uckeinsetzen erhalten wir
\[y_p=\frac{1}{k}x^2-\frac{2}{k^2}x+\frac{2}{k^3},\]
dasselbe Ergebnis wie mit Variation der Konstanten.  Unbestimmte
Ans\"atze f\"ur vielerlei St\"or{\-}funktionen findet man in
Formelsammlungen meist im Kapitel ``Inhomogene DGL 2.\ (oder
h\"oherer) Ordnung mit konstanten Koeffizienten''.  {\em Wichtig:} Der
unbestimmte Ansatz funktioniert nur bei konstanten Koeffizienten,
w\"ahrend Variation der Konstanten immer geht! }

{\small \paragraph{$\blacktriangleright$ Ein weiteres Beispiel:}
Da inhomogene lineare DGL 1.\ Ordnung weit verbreitet sind,
kann ein zweites Beispiel nicht schaden.
Gesucht ist die L\"osung der DGL
\[xy'+(1-x)y=x^2\]
bzw.\ (in Standardform)
\[y'+\frac{1-x}{x}\,y=x.\]
Die L\"osung der homogenen Gleichung $xy'+(1-x)y=0$ ist
\[y_H=Ce^{x-\ln x}=C\frac{e^x}{x}\]
({\em Zur \"Ubung Nachrechnen!!}). 

{\em Da es sich hier {\em nicht} um eine Gleichung mit konstanten Koeffizienten
wie im ersten Beispiel handelt, kann hier nur Variation der Konstanten
angewandt werden.}  Wir verwenden also den Ansatz Gl.\ \ref{vdc}
$y_P=C(x)y_H$,
d.h.\ f\"ur unser Beispiel $y_P=C(x)\frac{e^x}{x}$.   Setzt man mit diesem
$y_P$ und $y_P'=C'(x)e^{x-\ln x}+C(x)e^{x-\ln x}(1-\frac{1}{x})$ in
die DGL ein, erh\"alt man
\[x\underbrace{\left[C'(x)e^{x-\ln x}+C(x)e^{x-\ln x}(1-\frac{1}{x})
\right]}_{y_P'}+(1-x)\underbrace{C(x)e^{x-\ln x}}_{y_P}=x^2\]
\[xC'(x)e^{x-\ln x}=x^2\]
Nochmals: Da{\ss} sich die Terme mit $C(x)$ wegheben, mu{\ss} so
sein.  Wenn sie sich nicht wegheben, ist vorher ein Rechenfehler passiert!!
Weiteres Vereinfachen f\"uhrt auf eine DGL 1.\ Ordnung in $C(x)$, d.h.\ $C(x)$
ist jetzt die gesuchte Funktion.
\[C'(x)e^{x-\ln x}=x\]
\[C'(x)=x^2e^{-x}\]
Die Gleichung ist direkt integrierbar, und mit Hilfe einer Formelsammlung
oder partieller Integration erh\"alt man
\[C(x)=-e^{-x}(x^2+2x+2).\]
Somit ist
\[y_p(x)=C(x)\frac{e^x}{x}=-\frac{x^2+2x+2}{x}\]
und die allgemein(st)e L\"osung der inhomogenen DGL ist
durch
\[
y=y_H+y_P=C\frac{e^x}{x}-\frac{x^2+2x+2}{x}
\]
gegeben. Soweit die allgemeine L\"osung der inhomogenen linearen DGL.
Wie immer kann es auch eine AB geben, z.B. $y(x=2)=5$, d.h.,
\[y(x=2)=5=C\frac{e^2}{2}-5,\]
woraus man sofort $C=20/e^2$ findet.  Die spezielle L\"osung, die
dieser AB gen\"ugt lautet daher
\[y=20\frac{e^{x-2}}{x}-\frac{x^2+2x+2}{x}\]
}\hfill$\blacktriangleleft$

Eine abschlie{\ss}ende Bemerkung.  Da inhomogene, lineare DGL 1.\ Ordnung
immer gel\"ost werden k\"onnen, findet man in vielen Lehrb\"uchern
und allen Formelsammlungen kompakte Ausdr\"ucke der Form
\[
y(x)=\frac{1}{p(x)}\int p(x) h(x) dx +\frac{C}{p(x)},
\]
mit
\[p(x)=\exp[\int dx\, a_1(x)].\]
Wenn Sie ``Fertigformeln'' dieser Art vorziehen, dann m\"ussen Sie
sich unbedingt vertraut machen, was die einzelnen Symbole hei{\ss}en.
Pers\"onlich ziehe ich die schrittweise Methode vor, weil man u.U.\
w\"ahrend der Variation der Konstanten noch auf den einen oder anderen
Fehler draufkommt (z.B. Terme mit $C(x)$ fallen nicht weg).


\newpage
\section{Lineare Differentialgleichung 2.\ Ordnung mit konstanten Koeffizienten}

\subsection{Einige allgemeine Bemerkungen zu 
linearen DGL beliebiger Ordnung}
\label{allg}

Wie eben gezeigt, k\"onnen inhomogene, lineare DGL 1.\ Ordnung immer in
allgemeiner und systematischer Weise gel\"ost werden.  F\"ur lineare
DGL h\"oherer Ordnung ist dies nicht mehr der Fall (zumindest werden
die Verfahren um einiges komplizierter).  Wir werden uns daher im
Detail nur mit einem wichtigen Spezialfall, der linearen DGL 2.\ Ordnung
mit {\em konstanten} Koeffizienten besch\"aftigen.  Bevor wir uns
diesem Typus von Gleichung zuwenden, sollten aber doch ein paar allgemeine
Ergebnisse (ohne Beweis) \"uber die Natur der allgemeinen L\"osung einer
linearen DGL $n$-ter Ordnung nicht fehlen.

Bei der inhomogenen linearen DGL 1.\ Ordnung konnten wir uns
\"uberzeugen, da{\ss} sich die allgemeinste L\"osung aus der L\"osung der
homogenen Gleichung, die einen unbestimmten multiplikativen Faktor (die
Integrationskonstante) enth\"alt, plus einer partikul\"aren L\"osung der
inhomogenen Gleichung zusammensetzt (s.\ Gleichung \ref{lin1:3}).
Die allgemeinste inhomogene lineare Gleichung $n$-ter Ordnung hat
die Form (siehe\ (\ref{lin}))
\begin{equation}
\label{lin2:1}
y^{(n)}(x)+a_1(x)y^{(n-1)}(x)+\ldots+a_{n-1}(x) y'(x)+a_n(x)y(x)=h(x),
\end{equation}
die zugeordnete homogene Gleichung ist
\begin{equation}
\label{lin2:2}
y^{(n)}(x)+a_1(x)y^{(n-1)}(x)+\ldots+a_{n-1}(x) y'(x)+a_n(x)y(x)=0.
\end{equation}
Betrachten wir den  Spezialfall
\[y^{(n)}=0,\]
d.h.\ alle $a_i(x)$ verschwinden. Durch $n$-maliges Integrieren findet man sofort
\[y= 
\frac{\tilde c_1}{(n-1)!}x^{n-1}+
\frac{\tilde c_2}{(n-2)!}x^{n-2}+\ldots+
\tilde c_{n-1}x+ \tilde c_n=
c_1x^{n-1}+c_2x^{n-2}+\ldots+c_{n-1}x+c_n.\]
Im inhomogenen Fall
\[y^{(n)}=h(x)\]
erh\"alt man analog
\[y=\underbrace{c_1x^{n-1}+c_2x^{n-2}+c_{n-1}x+c_n}_{y_H}+
\underbrace{\int dx \left ( \int dx \left (\ldots \int dx \,h(x)\right)\right)}_{y_P}.\]
Die multiplen Integrale repr\"asentieren die $n$-malige
Integration des St\"orterms $h(x)$.  Man sieht sofort, da{\ss} sich
wie bei Gleichungen 1.\ Ordnung die
L\"osung der inhomogenen Gleichung aus der L\"osung der homogenen Gleichung
plus einer partikul\"aren L\"osung zusammensetzt.  Weiters besteht die
homogene L\"osung $y_H$ aus $n$ Termen, die $n$ multiplikativen Konstanten
$c_1,\ldots,c_n$ (die Integrationskonstanten) enthalten.

Die Betrachtung dieses Spezialfalls legt folgende Schlu{\ss}folgerung
bez\"uglich der L\"osungsgesamtheit von inhomogenen linearen DGL
$n$-ter Ordnung nahe --- der Beweis liegt au{\ss}erhalb des Rahmens
dieser Lehrveranstaltung und Ihrer Vorkenntnisse. {\em Auf jedem
Intervall $I$, auf dem die Koeffizienten $a_i(x)$ der DGL Gl.\
\ref{lin2:1} stetig sind, hat (\ref{lin2:1}) eine stetige L\"osung der
Form
\begin{equation}
\label{lin2:4}
y=y_H+y_P=\sum_{i=1}^n c_i u_i(x)+y_P
\end{equation}
die $n$ unabh\"angige Konstanten $c_i$ enth\"alt. Es gibt keine
weitere L\"osung auf $I$, die nicht aus (\ref{lin2:4}) durch Spezialisierung
der Konstanten gewonnen werden k\"onnte.  Jedes $u_i(x)$ ist eine
L\"osung der homogenen Gleichung \ref{lin2:2} und von allen anderen $u_{j\ne i}(x)$
{\em linear unabh\"angig}, d.h., die Beziehung 
\[\alpha_1 u_1(x)+\alpha_2 u_2(x)+\ldots+\alpha_n u_n(x)=0\]
zwischen den $u_i(x)$ wird nur durch die triviale L\"osung $\alpha_1=\alpha_2=\ldots=\alpha_n=0$ erf\"ullt. Da die allgemeine L\"osung (\ref{lin2:4})
$n$ Konstanten enth\"alt, sind zu deren Festlegung
$n$ AB notwendig.}

Aus dem eben Gesagten ist klar, da{\ss} der prinzipielle
L\"osungsvorgang f\"ur inhomogene lineare DGL h\"oherer Ordnung
v\"ollig analog zum Vorgehen bei linearen DGL erster Ordnung ist:
Zuerst mu{\ss} die homogenen Gleichung \ref{lin2:2} gel\"ost werden,
danach sucht man eine partikul\"are L\"osung. Hat man alle $n$
homogenen L\"osungen $u_i(x)$, dann kommt man durch Variation der
Konstanten (im Prinzip) immer auf eine partikul\"are L\"osung (in der
Praxis f\"uhrt das Verfahren jedoch sehr rasch auf komplizierte
Integrale).  {\em Im Gegensatz zu linearen Gleichungen 1.\ Ordnung
gibt es jedoch kein allgemeines Verfahren zum Finden der homogenen
L\"osungen.}  F\"ur allgemeine, lineare homogene DGL h\"oherer Ordnung
(auch schon 2.\ Ordnung!)  besteht daher die Hauptschwierigkeit im
Finden der homogenen L\"osung, wobei der Schl\"usselschritt im Finden
der {\em ersten} homogenen L\"osung besteht. Hat man n\"amlich einmal
eine homogene L\"osung $u_1(x)$ einer linearen DGL $n$-ter Ordnung,
kann man durch den Ansatz $y=v(x)u_1(x)$ auf eine neue
Differentialgleichung der Ordnung $n-1$ in $w(x)=v'(x)$ kommen. Dieses
Verfahren wird als {\em Reduktion der Ordnung} bezeichnet. Die Details
von Variation der Konstanten als auch von Reduktion der Ordnung sind
nicht Vorlesungsstoff. Reduktion der Ordnung werden wir im n\"achsten
Abschnitt auf einen Spezialfall anwenden, Kap.\ \ref{vdk} illustriert
die Variation der Konstanten an einem Beispiel.

\subsection{Homogene Gleichung}

Nach dieser allgemeinen Einf\"uhrung wenden wir uns einem wichtigen
Spezialfall, der {\em linearen DGL 2.\ Ordnung mit konstanten
Koeffizienten} zu:
\begin{equation}
\label{lin3:1}
y''+py'+qy=h(x)
\end{equation}
Im Rahmen dieser Lehrveranstaltung beschr\"anken wir uns auf den
Fall $p,q\in\mathbb{R}$, komplexe Koeffizienten k\"onnten
jedoch v\"ollig analog behandelt werden.
Aus den eben gegebenen allgemeinen Erl\"auterungen folgt, da{\ss} wir
zun\"achst die homogene Gleichung
\begin{equation}
\label{lin3:2}
y''+py'+qy=0
\end{equation}
l\"osen m\"ussen.

\subsubsection{Charakteristische Gleichung}

Der Schl\"usselschritt zur L\"osung der homogenen Gleichung liegt
im Ansatz 
\begin{equation}
y=e^{\lambda x},
\end{equation} 
da jede Ableitung von $y$ ein konstantes
vielfaches der Funktion ist.  Mit $y'=\lambda e^{\lambda x}$, 
$y''=\lambda^2 e^{\lambda x}$ erh\"alt man
\[\underbrace{\lambda^2 e^{\lambda x}}_{y''}+
p\underbrace{\lambda e^{\lambda x}}_{y'}+
q\underbrace{e^{\lambda x}}_y=0\] 
Da die Exponentialfunktion nie Null werden kann, darf man durchk\"urzen
und erh\"alt die sogenannte {\em charakteristische Gleichung} (auch
{\em charakteristisches Polynom}),
\begin{equation}
\label{lin3:3}
\lambda^2+p\lambda+q=0
\end{equation}
welches eine quadratische Gleichung in $\lambda$ ist. Die L\"osung
von (\ref{lin3:3}) f\"ur $p,q\in\mathbb{R}$
\[_1\lambda_2=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\]
kann je nach Wert der Diskriminante $D=p^2/4-q$ zwei relle Zahlen,
zwei komplexe Zahlen, oder eine zusammenfallende reelle L\"osung sein. Diese drei F\"alle diskutieren wir an Hand
von Beispielen getrennt in den folgenden Unterabschnitten.

Durch den Ansatz $y=e^{\lambda x}$ k\"onnen lineare DGL mit konstanten
Koeffizienten {\em beliebiger} Ordnung gel\"ost werden, vorausgesetzt
man findet die Nullstellen des entstehenden charakteristischen
Polynoms $n$-ter Ordnung.

\subsubsection{Fall I: Zwei reelle L\"osungen}

Die Gleichung
\[y''+y'-6y=0\]
hat die charakteristische Gleichung\footnote{Der Zwischenschritt
$\lambda^2 e^{\lambda x}+\lambda e^{\lambda x}-6e^{\lambda x}=0$ ist
so selbstverst\"andlich, da{\ss} er in der Praxis weggelassen wird.}
\[\lambda^2+\lambda-6=0,\]
welche die L\"osung
\[\lambda_1=+2,\qquad\lambda_2=-3\]
hat.
Damit ist die allgemeine L\"osung der homogenen Gleichung durch
\[y=Ae^{2x}+Be^{-3x}\]
gegeben.

Da es zwei Konstanten gibt, mu{\ss} es zwei AB  geben.
Es sei zum Beispiel $y(0)=1$ und $y'(0)=0$. Mit $y'=2Ae^{2x}-3Be^{-3x}$
erh\"alt man aus diesen AB ein Gleichungssystem von zwei Gleichungen
mit zwei Variablen (0.\ \"Ubungsblatt!).
\begin{eqnarray*}
y(0) = 1 & = & A + B \quad |\cdot 2\\
y'(0)= 0 & =& 2A - 3B \quad |\cdot (-1)
\end{eqnarray*}
Eliminieren von $A$ (wie angedeutet) f\"uhrt auf $B=2/5$ und Einsetzen von
$B$ in die erste oder zweite Gleichung gibt $A=3/5$. Die spezielle
L\"osung f\"ur diese AB ist daher
\[y=\frac{3}{5}e^{2x}+\frac{2}{5}e^{-3x}.\]

\subsubsection{Fall II: Zwei komplexe L\"osungen}

Die Gleichung
\[y''-6y'+13y=0\]
hat die charakteristische Gleichung
\[\lambda^2-6\lambda+13=0,\]
welche die L\"osung
\[\lambda_1=3+2i,\qquad\lambda_2=3-2i\]
hat.
Damit ist die allgemeine L\"osung der homogenen Gleichung durch
\[y=Ae^{(3+2i)x}+Be^{(3-2i)x}=e^{3x}\left(Ae^{2ix}+Be^{-2ix}\right)\]
gegeben. 

{\small Im Prinzip sind wir hiermit fertig, die komplexe Exponentialfunktion
indiziert allerdings Umformung in Winkelfunktionen nach dem Satz
von Moivre $e^{ix}=\cos x+i\sin x$. Unter tempor\"arer Weglassung
des Faktors $e^{3x}$, l\"asst sich der Inhalt der Klammer auch als
\[A(\cos (2x) +i \sin (2x))+ B(\cos (-2x) + i\sin(-2x))=\]
\[A(\cos (2x) +i \sin (2x))+ B(\cos (2x) - i\sin(2x))=\]
\[[\underbrace{A+B}_C]\cos(2x)+\underbrace{i[A-B]}_D\sin(2x)\]
schreiben. Da die Konstanten $A$ und $B$ keinerlei Einschr\"ankung 
unterliegen, lassen wir zu, da{\ss} sie komplex sind, 
verlangen aber, da{\ss} $C=A+B$ und $D=i(A-B)$ reell sind.  (Da{\ss}
dies m\"oglich ist, sieht man durch aufl\"osen der Definitionen
von $C$ und $D$ nach $A$ und $B$, man findet ({\em \"uberpr\"ufen
Sie das!}) $A=\frac{C-iD}{2}$, $B=\frac{C+iD}{2}$.}

Die L\"osung unseres Beispiels l\"a{\ss}t sich daher auch
in der Form 
\[y=e^{3x}\left(C\cos(2x)+D\sin(2x)\right)\]
schreiben. 

Erhalten Sie also als L\"osung einer charakteristischen
Gleichung zwei komplexe L\"osungen, $_1\lambda_2=\alpha\pm i\beta$,
so k\"onnen Sie die L\"osung der DGL sofort in der Form
\[y=e^{\alpha x}\left(c_1\cos(\beta x)+c_2\sin(\beta x)\right)\]
schreiben.  Das Einsetzen von AB erfolgt v\"ollig analog dem Fall
zweier reeller L\"osungen, konkrete Beispiele siehe \"Ubungsbl\"atter
des Vorjahrs, und aktuelle \"Ubungszettel.

\subsubsection{Fall III: Eine zusammenfallende reelle L\"osung}

Die Gleichung
\[y''-6y'+9y=0\]
hat die charakteristische Gleichung
\[\lambda^2-6\lambda+9=0,\]
welche die zusammenfallende reelle L\"osung
\[\lambda=3\]
hat. Wir haben daher als L\"osung der DGL
\[y=Ae^{3x}=y_1,\]
wissen aber aus der Theorie (Abschnitt \ref{allg}), da{\ss} es noch
eine zweite L\"osung geben mu{\ss}.

{\small Man hat in diesem Fall mehrere M\"oglichkeiten, die
fehlende zweite L\"osung zu finden.  Wir n\"utzen die Gelegenheit,
um die Methode der Reduktion der Ordnung an einem ganz einfachen Fall
zu illustrieren. Wie in Abschnitt \ref{allg} erl\"autert, verwendet
man den L\"osungsansatz
\[y_2=v(x)y_1(x)=v(x)e^{3x}.\]
Erste und zweite Ableitung dieses Ansatzes sind $y'=v'(x)e^{3x}+3v(x)e^{3x}$,
$y''=v''(x)e^{3x}+6v'(x)e^{3x}+9v(x)e^{3x}$. Einsetzen in die DGL
ergibt
\[\underbrace{v''(x)e^{3x}+6v'(x)e^{3x}+9v(x)e^{3x}}_{y''}-
6(\underbrace{v'(x)e^{3x}+3v(x)e^{3x}}_{y'})+
9\underbrace{v(x)e^{3x}}_y=0\]
Dieser Ausdruck vereinfacht sich zu
\[v''(x)e^{3x}=0,\]
was wie in Abschnitt \ref{allg} behauptet  tats\"achlich eine Differentialgleichung
1.\ Ordnung in $w=v'(x)$ ist
\[w'(x)e^{3x}=0\qquad\mbox{bzw.}\qquad w'(x)=0.\]
Durch direkte Integration findet man
\[w(x)=v'(x)=C\]
und somit
\[v(x)=Cx+D.\]
Damit finden wir als zweite L\"osung 
\[y_2(x)=v(x)e^{3x}=(Cx+D)e^{3x}.\]
Einen Teil dieser L\"osung, $De^{3x}$, kennen wir bereits, der zweite
Teil, $Cxe^{3x}$, ist jedoch die gesuchte, linear unabh\"angige zweite Funktion, die eine
L\"osung der homogenen DGL ist.}

Die vollst\"andige L\"osung der DGL unseres
Beispiels ist
also
\[y=y_1+y_2=Ae^{3x}+Bxe^{3x}.\]

Der besseren Verst\"andlichkeit wegen wurde die Ableitung an
einem konkreten Beispiel durchgef\"uhrt.  Die Rechnung kann aber
auch allgemein gef\"uhrt werden und es gilt: Die lineare DGL
mit konstanten Koeffizienten der Form
\[y''+2ry'+r^2y=0\]
mit zusammenfallendem $\lambda=-r$ der charakteristischen
Gleichung $\lambda^2+2r\lambda+r^2=(\lambda+r)^2=0$ hat die allgemeine L\"osung
\[y=Ae^{-rx}+Bxe^{-rx}.\]
Unser spezielles Beispiel entspricht dem Fall $r=-3$.


\subsection{Inhomogene Gleichung}

\subsubsection{Unbestimmter Ansatz und Koeffizientenvergleich}

F\"ur reelle Koeffizienten $p$, $q$ in Gleichung \ref{lin3:1} haben
wir jetzt alle m\"oglichen F\"alle, die beim L\"osen der homogenen
Gleichung auftreten k\"onnen, besprochen.  Bei linearen DGL mit
konstanten Koeffizienten wird zum Suchen einer partikul\"aren L\"osung
bevorzugt die Methode des unbestimmten Ansatzes mit darauffolgendem
Koeffizientenvergleich herangezogen. Die unbestimmten Ans\"atze sind
in allen g\"angigen Formelsammlungen tabelliert, z.B. im ``kleinen
Bartsch'' siehe das Flu{\ss}diagramm und Erl\"auterungen auf den
Seiten 180f.  {\em {\em ACHTUNG:} Alle derartige Tabellen sind mit
{\em Sorgfalt} zu verwenden, denn der zu verwendende Ansatz kann von
der homogenen L\"osung abh\"angen!}

Wir beginnen mit einem ersten, v\"ollig ausgearbeiteten
Beispiel. Danach folgen ein paar allgemeine Bemerkungen, illustriert
durch weitere Beispiele (bei denen die Rechenschritte allerdings nur
skizziert sind). Nach diesen Beispielen schlie{\ss}en wir das Kapitel
mit einer kurzen Bemerkung zu komplizierteren F\"allen, und einem
Trick, der in manchen F\"allen viel Rechenarbeit ersparen kann.  Ein
zus\"atzliches Beispiel finden Sie im Abschnitt \ref{vdk}, wo die
Methode des unbestimmten Ansatzes zur \"Uberpr\"ufung des durch
Variation der Konstanten ermittelten Ergebnisses verwendet wird.

\noindent $\blacktriangleright$ Gesucht ist die L\"osung der DGL
\[y''+y'-2y=x^2\]
mit den AB $y(0)=0$, $y'(0)=0$.
Aus der charakteristischen Gleichung
\[\lambda^2+\lambda-2=0\]
findet man mit
\[\lambda_1=-2\qquad\lambda_2=1\]
als allgemeine L\"osung der homogenen Gleichung
\[y_H=Ae^x+Be^{-2x}\]

Da die St\"orfunktion $h(x)=x^2$ ein Polynom zweiten Grades ist,
so liegt die Vermutung nahe, da{\ss} die gesuchte partikul\"are
L\"osung auch ein Polynom 2.\ Grades ist.  Wir verwenden daher
den unbestimmten Ansatz
\[y_P=ax^2+bx+c\]
mit Ableitungen $y_P'=2ax+b$, $y_P''=2a$. Einsetzen 
in die DGL f\"uhrt zu
\[\underbrace{2a}_{y_P''}+\underbrace{2ax+b}_{y_P'}-
2(\underbrace{ax^2+bx+c}_{y_P})=x^2\]
Vereinfachen und sortieren der Terme nach Potenzen von $x$
ergibt
\[\underbrace{-2a}_1 x^2+(\underbrace{2a-2b}_0)x+(\underbrace{2a+b-2c}_0)=1\cdot x^2+0\cdot x + 0,\]
woraus man durch Koeffizientenvergleich das Gleichungssystem
\begin{eqnarray*}
-2a & = & 1\\
2a-2b & = & 0 \\
2a+b-2c & = & 0
\end{eqnarray*}
findet.  Dieses hat die L\"osung
\[a=-\frac{1}{2}\qquad b=-\frac{1}{2}\qquad c=-\frac{3}{4}\]
und somit lautet die gesuchte partikul\"are L\"osung
\[y_P=-\frac{1}{2}(x^2+x+\frac{3}{2}).\]
Die allgemeine L\"osung der inhomogenen Gleichung
\[y=y_H+y_P=Ae^x+Be^{-2x}-\frac{1}{2}(x^2+x+\frac{3}{2}).\]

Zu guter letzt m\"ussen wir noch die AB ber\"ucksichtigen ({\em diese
m\"ussen mit der vollst\"andigen, nicht blo{\ss} mit der homogenen
L\"osung ermittelt werden!}).  Wir brauchen neben der Funktion $y$ selbst
die Ableitung der L\"osung, $y'=Ae^x-2Be^{-2x}-x-1/2$.
Mit
\[y(0)=0=A+B-\frac{3}{4}\]
\[y'(0)=0=A-2B-\frac{1}{2}\]
findet man nach kurzer Rechnung $A=2/3$ und $B=1/12$. Die spezielle
L\"osung, die den AB gen\"ugt, ist also:
\[y=\frac{2}{3}e^x+\frac{1}{12}e^{-2x}-\frac{1}{2}(x^2+x+\frac{3}{2}).\]

\hfill$\blacktriangleleft$

Die Grundidee aller unbestimmten Ans\"atze ist: {\em Der Ansatz
$y_P(x)$ mu{\ss} alle Funktionen enthalten, die in der St\"orfunktion
$h(x)$ vorkommen bzw.\ aus dieser durch Differentiation entstehen.} In
obigem Beispiel war $h(x)=x^2$.  Der Ansatz $y_P=\beta x^2$ (mit
$\beta$ als zu bestimmender Konstante) reicht allerdings nicht aus,
denn durch Differentiation entstehen ja die Ableitungen $y_p'=2\beta
x$, $y_p''=2\beta$. Daher ist der richtige Ansatz das vollst\"andige
Polynom 2.\ Ordnung $y_P=\beta_2 x^2+\beta_1 x+\beta_0$, der auch im
obigen Beispiel verwendet wurde.  Diese \"Uberlegung f\"uhrt auf folgende,
{\em vorl\"aufige} Tabelle (s.\ Seite \pageref{tab1}) von unbestimmten Ans\"atzen.
\begin{table}[!h]
\begin{center}
\begin{minipage}{\textwidth-2cm}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}\normalfont
\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
$h(x)$&$\qquad$&$y_P(x)$\\
\hline
$\alpha_n x^n +\alpha_{n-1}x^{n-1}+\ldots+ \alpha_1 x+\alpha_0$ & & $\beta_n x^n +\beta_{n-1}x^{n-1}+\ldots+ \beta_1 x+\beta_0$\\
$\alpha\exp(c x)$ & & $\beta\exp(c x)$\\
$\alpha\cos(c x)$ & & $\beta_1\cos(c x)+\beta_2\sin(c x)$\\
$\alpha\sin(c x)$ & & $\beta_1\cos(c x)+\beta_2\sin(c x)$\\
$\alpha_1\cos(c x)+\alpha_2\sin(c x)$ & & $\beta_1\cos(c x)+\beta_2\sin(c x)$\\
$\alpha\exp(c x)\cos(d x)$ & & $\exp(c x)\left(\beta_1\cos(d x)+\beta_2
\sin(d x)\right)$\\
$\alpha\exp(c x)\sin(d x)$ & & $\exp(c x)\left(\beta_1\cos(d x)+\beta_2
\sin(d x)\right)$\\
$\exp(c x)\left(\alpha_1\cos(dx)+\alpha_2\sin(d x)\right)$ & & $\exp(c x)
\left(\beta_1\cos(d x)+\beta_2\sin(d x)\right)$\\
\end{tabular}
\end{center}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.}\normalfont
\caption{\label{tab1} {\em Vorl\"aufige} Zusammenstellung von
unbestimmten Ans\"atzen $y_P$ als Funktion der St\"orfunktion $h(x)$.
{\em Die hier angegebenen Ans\"atze funktionieren nicht, wenn $y_P$ 
bereits L\"osung der homogenen Gleichung ist, in diesem Fall ist
diese Tabelle um die im Text auf Seite \pageref{reg1} angegebene {\em \bfseries Regel} zu erg\"anzen}. Die $\alpha_i$
sind die in der St\"orfunktion auftretenden Konstanten, und die $\beta_i$ sind die entsprechenden, durch
Koeffizientenvergleich zu bestimmenden Konstanten.  Die Konstanten $c$ und $d$
sind in $h(x)$ und $y_P(x)$ gleich.
}
\end{minipage}
\end{center}
\end{table}
Die Notwendigkeit, nicht nur die unmittelbar in $h(x)$ auftretende
Funktion zu verwenden, sieht man z.B.\ auch im Fall $h(x)=\sin(c x)$
bzw. $h(x)=\cos(c x)$.  Da durch die erste Ableitung ein Cosinus
(Sinus) auftritt, mu{\ss} der Ansatz die allgemeinere Funktion
$y_P=\beta_1\sin(cx)+\beta_2\cos(cx)$ sein (dritter und vierter
Eintrag in Tabelle~\ref{tab1}). Die Konstante $c$ im Argument des Sinus
(Cosinus) mu{\ss} nat\"urlich im unbestimmten Ansatz das gleiche wie
in der St\"orfunktion sein.

Als Beispiel betrachten wir 
\[y''+y=\sin(3x)\qquad\text{(A)}\]
Diese Gleichung hat die L\"osung der charakteristischen Gleichung 
$_2\lambda_1=\pm i$, und somit $y_H=A\sin x+ B\cos x$. Aus Tabelle~\ref{tab1}
folgt als unbestimmter Ansatz f\"ur die partiku\"are L\"osung $y_P=\beta_1\sin(3x)+\beta_2\cos(3x)$.\footnote{Da weder $\sin(3x)$ noch $\cos(3x)$ eine L\"osung der zu (A)
homogenen Gleichung $y''+y=0$ sind, gibt es kein Problem, und der Ansatz kann
in dieser Form verwendet werden, siehe die folgende Diskussion.}

{\em Die in Tabelle~\ref{tab1} angegebenen Ans\"atze sind (wie
erw\"ahnt) mit Sorgfalt zu verwenden, denn Probleme entstehen wenn der
aus Tabelle~\ref{tab1} folgende Ansatz $y_P$ bereits eine L\"osung
$y_H$ der homogenen Gleichung ist.}  (In der Praxis sieht man dies
sofort, denn beim Einsetzen des (in einem solchen Fall) falschen
Ansatzes f\"allt die linke Seite der Gleichung weg, und man ist so
klug als wie zuvor.)  Ein solcher Fall tritt in der zu Beispiel (A)
ganz leicht ge\"anderten DGL
\[\label{prob1}y''+9y=\sin(3x)\qquad\text{(B)}\]
auf. Diese Gleichung hat die L\"osung der charakteristischen Gleichung 
$_2\lambda_1=\pm 3i$, und somit $y_H=A\sin(3 x)+ B\cos(3 x)$. Aus Tabelle~\ref{tab1}
folgt als unbestimmter Ansatz f\"ur die partiku\"are L\"osung wieder $y_P=\beta_1\sin(3x)+\beta_2\cos(3x)$. Dieser Ansatz ist aber die homogene L\"osung,
und Einsetzen in die DGL f\"uhrt auf den Widerspruch $0=\sin(3x)$.
Die L\"osung des Dilemmas besteht darin, den unbestimmten Ansatz mit $x$
zu multiplizieren, der korrekte Ansatz f\"ur dieses Beispiel lautet daher:
\[y_P=x\left(\beta_1\sin(3x)+\beta_2\cos(3x)\right).\] 
Nach zugegeberma{\ss}en etwas m\"uhsamer Rechnung (Einsetzen,
Koeffizientenvergleich) findet man schlie{\ss}lich als partikul\"are
L\"osung $y_P=-1/6\, x \cos(3x)$, d.h.\ $\beta_1=0$ und
$\beta_2=-1/6$.

\noindent In F\"allen wie diesem, mu{\ss} man Tabelle~\ref{tab1} daher
um folgende Regel erg\"anzen:\\[1.5ex] {\bfseries\label{reg1} Regel:}
{\em Wir bezeichnen den aus Tabelle~\ref{tab1} folgenden Ansatz
(rechte Spalte) von jetzt an als $^0y_P$ (denken Sie 
an Ansatz ``0.-ter Ordnung'').  Stellt sich heraus,
da{\ss} $^0y_P$ eine L\"osung der der zu l\"osenden inhomogenen DGL
zugeordneten homogenen DGL ist (man sieht dies ja sofort!), so
versucht man den Ansatz $^1y_P=x\cdot \,^0y_P$. Sollte $^1y_P$ noch
immer eine L\"osung der homogenen Gleichung sein, so multipliziert man
nochmals mit $x$, d.h.\ $^2y_P=x\cdot\,^1y_P=x^2\cdot\,^0y_P$.}

F\"ur lineare DGL 2.\ Ordnung mit konstanten Koeffizienten sind damit alle
m\"oglichen F\"alle abgedeckt.  Bei linearen DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten (f\"ur die alles in diesem Abschnitt gesagt sinngem\"a{\ss} gilt!) kann es vorkommen, da{\ss} auch $^2y_P$ eine L\"osung der homogenen Gleichung
ist.  In solchen F\"allen multipliziert man $^0y_P$ solange mit $x$, bis
der daraus entstehende unbestimmte Ansatz $x^m\cdot\,^0y_P$ keine L\"osung
der zugeordneten homogenen Gleichung mehr ist.

Formelsammlungen verwendem im Bestreben m\"oglichst allgemein und
platzsparend zu sein, verschiedene Schreibweisen, um den Inhalt von
Tabelle~\ref{tab1} und der erg\"anzenden Regel auszudr\"ucken.  {\em Bitte
vergewissern Sie sich, da{\ss} sie mit der Notation Ihrer Formelsammlung
vertraut sind!!} Zur Illustration der eben gebrachten allgemeinen \"Uberlegungenjetzt ein paar Beispiele (Die Rechenschritte sind teilweise nur skizziert
und m\"ussen von Ihnen vervollst\"andigt werden!):

{\small
\noindent\paragraph{$\blacktriangleright$ Beispiel i:} Zum Finden der
partikul\"aren L\"osung der DGL
\[y''-y'-2y=\sin x\]
mit L\"osung $y_H=A\exp(2x)+B\exp(-x)$ der zugeordneten homogenen
Gleichung ({\em Nachrechnen!}) folgt aus Tabelle~\ref{tab1} der
unbestimmte Ansatz
\[^0y_P=\beta_1\sin x+\beta_2\cos x=y_P.\]
Es gilt $^0y_P=y_P$, da weder $\sin x$ noch $\cos x$ eine
L\"osung der zugeordneten homogenen Gleichung sind.

Als n\"achstes berechnet man erste und zweite Ableitung von $y_P$, $y_P'=\beta_1\cos x-\beta_2 \sin x$, $y_P''=-\beta_1\sin x-\beta_2 \cos x$, und setzt
in die DGL ein:
\[\underbrace{-\beta_1\sin x-\beta_2\cos x}_{y_P''}-
(\underbrace{\beta_1\cos x-\beta_2\sin x}_{y_P'})-
2(\underbrace{\beta_1\sin x+\beta_2 \cos x}_{y_P})=\sin x\]
Durch Vereinfachen und Sortieren nach Termen in $\cos x$ und $\sin x$
erh\"alt man
\[\sin x(\underbrace{-3\beta_1+\beta_2}_{=1})+
\cos x(\underbrace{-\beta_1-3\beta_2}_{=0})=1\cdot\sin x+0\cdot\cos x,\]
somit findet man die gesuchten Koeffizienten $\beta_1$, $\beta_2$ als
L\"osung des Gleichungssystems
\begin{eqnarray*}
-3\beta_1+\beta_2&=&1\\
-\beta_1-3\beta_2&=&0.
\end{eqnarray*}
Man erh\"alt $\beta_1=-3/10$ und $\beta_2=1/10$, und somit lautet die
gesuchte partikul\"are L\"osung
\[y_P=-\frac{3}{10}\sin x+\frac{1}{10}\cos x.\]

\hfill$\blacktriangleleft$

\noindent\paragraph{$\blacktriangleright$ Beispiel ii:} Zum Finden der
partikul\"aren L\"osung der DGL
\[y''+2y'+2y=2x^2-x+1\]
mit L\"osung $y_H=e^{-x}\left(A\sin x+B\cos x\right)$ der zugeordneten
homogenen Gleichung ({\em Nachrechnen!}) folgt aus Tabelle~\ref{tab1}
der unbestimmte Ansatz
\[^0y_P=\beta_2 x^2+\beta_1 x + \beta_0=y_P.\]
Wenn der St\"orterm $h(x)$ ein Polynom ist, gilt fast immer $^0y_P=y_P$, da
(au{\ss}er in den Spezialf\"allen $y''=0$, oder eine der
L\"osungen der charakteristischen Gleichungen $\lambda=0$) ein Polynom nie L\"osung der homogenen Gleichung ist.

Als n\"achstes berechnet man erste und zweite Ableitung von $y_P$, $y_P'=2\beta_2 x+\beta_1$, $y_P''=2\beta_2$, und setzt
in die DGL ein:
\[\underbrace{2\beta_2}_{y_P''}+
2(\underbrace{2\beta_2 x+\beta_1}_{y_P'})+
2(\underbrace{\beta_2 x^2+\beta_1 x + \beta_0}_{y_P})=2x^2-x+1\]
Durch Vereinfachen und Sortieren nach Termen in $x^2$, $x^1=x$ und $x^0=1$
erh\"alt man
\[x^2(\underbrace{2\beta_2}_{=2})+
x(\underbrace{4\beta_2+2\beta_1}_{=-1})+
1(\underbrace{2\beta_2+2\beta_1+2\beta_0}_{=1})
=2\cdot x^2-1\cdot x+1\cdot 1.\]
Durch Koeffizientenvergleich findet man
$\beta_2=1$, $\beta_1=-5/2$ und $\beta_0=2$, und somit lautet die
gesuchte partikul\"are L\"osung
\[y_P=x^2-\frac{5}{2} x+2.\]

\hfill$\blacktriangleleft$

\noindent\paragraph{$\blacktriangleright$ Beispiel iii:} Zum Finden der
partikul\"aren L\"osung der DGL
\[y''-4y'+4y=3\exp(2 x)\]
mit L\"osung 
\[y_H=A\exp(2x)+B x \exp(2x)\]
der zugeordneten homogenen
Gleichung ({\em Nachrechnen!}) folgt aus Tabelle~\ref{tab1} zun\"achst der
unbestimmte Ansatz $^0y_P=\beta\exp(2 x)$.
In diesem Fall sind aber sowohl $^0y_P$ als auch(!) $^1y_P=\beta\,x \exp(2 x)$
L\"osungen der homogenen Gleichung.  Der korrekte unbestimmte Ansatz 
ist daher gem\"a{\ss} der Regel auf Seite~\pageref{reg1} 
\[y_P= {^2y_P}=\beta\,x^2\exp(2x).\]
 
Als n\"achstes berechnet man erste und zweite Ableitung von $y_P$, $y_P'=
2\beta x \exp(2 x)+2\beta x^2 \exp(2 x)$, $y_P''=2 \beta \exp(2x)+8\beta x\exp(2x)+4\beta x^2\exp(2x)$, und setzt
in die DGL ein:
\[\underbrace{2 \beta \exp(2x)+8\beta x\exp(2x)+4\beta x^2\exp(2x)}_{y_P''}-4
(\underbrace{2\beta x \exp(2 x)+2\beta x^2 \exp(2 x)}_{y_P'})+
4(\underbrace{\beta x^2 \exp(2 x)}_{y_P})=3\exp(2 x)\]
Alle Terme in $x$ und $x^2$ k\"urzen sich heraus, und es bleibt
\[2\beta \exp(2x)=3\exp(2x)\]
\"ubrig, somit ist der gesuchte Koeffizient $\beta=3/2$ und man
erh\"alt als
partikul\"are L\"osung
\[y_P=\frac{3}{2}x^2\exp(2 x).\]


\hfill$\blacktriangleleft$
}

{\em Der Rest dieses Abschnitts ist optional und als Vertiefung f\"ur
Interessierte gedacht und daher nicht Pr\"ufungsstoff}

Zur Vervollst\"andigung ein paar Anmerkungen zu komplizierteren
F\"allen:$\;$ (1) Ist die St\"orfunktion eine Summe von Termen
$h(x)=h_1(x)+h_2(x)+\ldots$, so sucht man f\"ur jedes $h_i(x)$ eine
partiku\"are L\"osung $y_{P,i}$ gem\"a{\ss} Tab.~\ref{tab1} und der
Regel auf S.~\pageref{reg1}, die gesuchte vollst\"andige partikul\"are
L\"osung ist $y_P=y_{P,1}+y_{P,2}+\ldots$.Ist z.B.\ die St\"orfunktion
$h(x)=e^x+\sin(2x)$, so sucht man zwei partikul\"are L\"osungen, die
erste f\"ur die St\"orfunktion $h_1(x)=e^x$, die zweite f\"ur
$h_2(x)=\sin(2x)$, die Summe der beiden auf diese Weise gefundenen
partikul\"aren L\"osungen f\"ur $h_1(x)$ und $h_2(x)$ erf\"ullt die
vollst\"andige DGL mit St\"orfunktion $h(x)=e^x+\sin(2x)$.

\begin{sloppypar}\noindent(2) Manchmal treten als St\"orfunktionen 
auch Produkte $h(x)=h_1(x)h_2(x)$ auf. Uns interessiert hier nur der
Speziallfall, da{\ss} eine der beiden Funktionen ein Polynom $\alpha_n
x^n+\ldots+\alpha_1 x+\alpha_0$ ist, und die zweite Funktion eine
Exponentialfunktion $\gamma\exp(c x)$, oder eine Sinus- $\gamma\sin(c
x)$ bzw.\ Cosinusfunktion $\gamma\cos(c x)$ ist. Als Ansatz $^0y_P$
verwendet man das Produkt der entsprechden Ans\"atze aus
Tab.~\ref{tab1}.  Ist z.B.\ $h(x)=\left(\alpha_n x^n+\ldots+\alpha_1
x+\alpha_0\right)\exp(c x)$, so folgt somit als unbestimmter Ansatz
\[^0y_P(x)=\left(\beta_n x^n+\ldots+\beta_1 x+\beta_0\right)\exp(c x).\]
Wenn $h_2(x)$ eine Winkelfunktion ($\sin$, $\cos$) ist, so ist der
unbestimmte Ansatz etwas komplizierter, denn z.B.\ aus $h_2(x)=\sin x$ folgt
ja $^0y_{P,2}=\beta_1\sin x+\beta_2\cos x$. Dieses $y_{P,2}$ ist
dann mit dem unbestimmten Ansatz $y_{P,1}$ f\"ur das Polynom $h_1(x)$
zu multiplizieren, womit sich in Summe folgender Ansatz f\"ur St\"orfunktionen
der Form $h(x)=\left(\alpha_n x^n+\ldots+\alpha_1
x+\alpha_0\right)\sin(c x)$, $h(x)=\left(\alpha_n x^n+\ldots+\alpha_1
x+\alpha_0\right)\cos(c x)$, sowie $h(x)=\left(\alpha_n x^n+\ldots+\alpha_1
x+\alpha_0\right)\left(\gamma_1\sin(c x)+\gamma_2\cos(2x)\right)$ ergibt:
\[^0y_P=\left(\beta_n x^n+\ldots+\beta_1
x+\beta_0\right)\sin(c x)+\left(\delta_n x^n+\ldots+\delta_1
x+\delta_0\right)\cos(c x).\]
Sollte $^0y_P$ eine L\"osung der homogenen Gleichung sein (in der
Praxis vermutlich erst bei Gleichungen $n$-ter Ordnung $n>2$ von
Bedeutung), so ist $^0y_P$ solange mit $x$ zu multiplizieren, bis der
resultierende Ansatz keine L\"osung der homogenen Gleichung mehr ist.
Weitere Details entnehmen Sie im Falle des Falles bitte Ihrer Formelsammlung.
\end{sloppypar}

(3) Ist die St\"orfunktion $h(x)=\alpha e^{cx}$ (wobei $c=a+ib$
komplex sein kann), so gibt es einen Trick, mit dem man sich einiges
an Rechenarbeit ersparen kann (Bronstein, Semendjajew, Taschenbuch der
Mathematik).  Diese ``Abk\"urzung'' kann mann durch den Satz von
Moivre auch auf Winkelfunktionen anwenden, denn $\cos
(bx)+i\sin(bx)=\exp(ibx)$, und man verwendet einfach Real-
($h(x)=\alpha\cos(bx)$) bzw.\ Imagin\"arteil ($h(x)=\alpha\sin(bx)$) der
L\"osung. {\em Bitte verwenden Sie diesen Trick aber nur, wenn Sie
  verstehen, was Sie tun!}

Gegeben sei die DGL $y''+a_1y'+a_2=h(x)$ und
die St\"orfunktion $h(x)$ habe die Form $h(x)=\alpha e^{cx}$.  Dann
gilt f\"ur reelle und komplexe $c$, da{\ss}
\[y_P=\frac{\alpha x^m \exp(c x)}{P^{(m)}(\lambda=c)}\qquad\text{(A)}\]
wobei $P(\lambda)=\lambda^2+a_1\lambda+a_2$ das charakteristische
Polynom der DGL ist, und $m$ der Grad der Ableitung (nach $\lambda$!)
des charakteristischen Polynoms ist, f\"ur die (zum ersten Mal!)
$P^{(m)}(\lambda=c)\not=0$ gilt.  Ist der Wert des charakteristischen
Polynoms selbst an der Stelle $\lambda=c$ ungleich Null, so ist $m=0$
und der obige Ausdruck vereinfacht sich zu
$y_P=\alpha\exp(c)/P(\lambda=c)$.

Wir illustrieren die Methode an zwei Beispielen: (a) Zu l\"osen sei die
DGL aus Beispiel~{iii}, $y''-4y'+4y=3\exp(2x)$ mit charakteristischem
Polynom $P(\lambda)=\lambda^2-4\lambda+4$.  Es sind $\alpha=3$ und $c=2$.
Man sieht, da{\ss} sowohl $P(\lambda)$ als auch $P'(\lambda)=2\lambda-4$ an
der Stelle $\lambda=c=2$ verschwinden, erst $P''(\lambda=2)=2\not=0$, somit
ist $m=2$. Einsetzen in Gl.\ (A) f\"uhrt sofort auf $y_P=3 x^2 \exp(2x)/2$,
dasselbe Ergebnis, wie wir es in Beispiel~{iii} durch unbestimmten Ansatz
und Koeffizientenvergleich erhielten.

(b) Als zweites Beispiel betrachten wir die DGL $y''+9y=\sin(3x)$ (s.S.\ \pageref{prob1}). Um Gl.\ (A) anwenden zu k\"onnen, weichen wir ins Komplexe aus
und suchen eine partikul\"are L\"osung der DGL $y''+9y=\exp(3ix)$ mit
$c=0+3i$.  Der Imagin\"arteil der partikul\"aren L\"osung dieser verallgemeinerten Gleichung ist dann die gesuchte partikul\"are L\"osung der urspr\"unglichen
Gleichung.  Das charakteristische Polynom ist in diesem Fall $P(\lambda)=\lambda^2+9$, und es gilt $P(\lambda=c=3i)=0$.  Somit untersuchen wir die
erste Ableitung $P'(\lambda)=2\lambda)$, diese hat an der Stelle $\lambda=c=3i$
den Wert $6i\not= 0$. Somit folgt $m=1$ und wir erhalten aus Gl.\ (A) ($\alpha=1$)
\[y_P=\frac{x\exp(3ix}{6i}=-\frac{ix\exp(3ix)}{6}=-\frac{ix(\cos(3x)+i\sin(3x))}{6}=\frac{1}{6}x\sin(3x)+i\left(-\frac{1}{6}x\cos(3x)\right)\]
Der Imagin\"arteil dieser partikul\"aren L\"osung der
verallgemeinerten DGL mit $h(x)=\exp(i3x)$ ist $-1/6\,x\cos(3x)$, dies
ist somit die partikul\"are L\"osung der urspr\"unglichen DGL
($h(x)=\sin(3x)$, vgl.\ S.~\pageref{prob1}).  Der Realteil
$1/6\,x\sin(3x)$ w\"are die partikul\"are L\"osung der DGL
$y''+9y=\cos(3x)$.


\subsubsection{Variation der Konstanten}
\label{vdk}

{\em Dieser Abschnitt ist optional und als Vertiefung f\"ur
Interessierte gedacht und daher nicht Pr\"ufungsstoff}

{\small Um dieses Skriptum abzurunden wird zun\"achst an einem
Beispiel die Variation der Konstanten f\"ur lineare DGL 2.\ Ordnung
illustriert, danach der allgemeine L\"osungsweg skizziert. Wie in Abschnitt \ref{allg} erw\"ahnt, w\"urde diese
Methode auch bei Gleichungen mit nichtkonstanten Koeffizienten
funktionieren.

\noindent$\blacktriangleright$ Man berechne die L\"osung der Differentialgleichung 
\[
y''-2y'-3y=h(x)=5 \sin (2x)
\]
Wir beginnen mit der Lösung der homogenen Gleichung und finden
aus 
\[\lambda^2-2\lambda-3=0\]
die allgemeine Lösung
\[y_H=Ae^{3x}+Be^{-x}\]

Wie bei der Variation der Konstanten bei Gleichungen 1.\ Ordnung
besteht der Schl\"usselschritt darin, zum Finden der partikul\"are L\"osung die Konstanten $A$ und
$B$ als Funktionen von $x$ aufzufassen, d.h.{} $A=A(x)$ und $B=B(x)$.
Man nimmt also an, da\ss{} die vollst\"andige L\"osung der inhomogenen
Gleichung die Form
\[y_P=A(x) u_1(x)+ B(x) u_2(x)=A(x) e^{3x}+B(x)e^{-x}\qquad\text{(a)}\]
hat. Aus (a) erh\"alt man zun\"achst die Ableitung 
\[y_P'=A'(x) u_1(x)+A(x) u_1'(x)+ B'(x) u_2(x)+B(x) u_2'(x)=\]
\[=A'(x) e^{3x}+3A(x) e^{3x}+B'(x)e^{-x} -B(x)e^{-x}.\]
Einsetzen von Ansatz (a) in die DGL w\"urde nur {\em eine}
Gleichung f\"ur {\em zwei} unbekannte Funktionen $A(x)$ und $B(x)$ ergeben.
Uns bleibt daher die M\"oglichkeit, f\"ur die gesuchten Funktionen $A(x)$ und $B(x)$
noch eine zus\"atzliche Bedingung zu verlangen.  Wir n\"utzen dies
aus und fordern, da{\ss}
\[A'(x)u_1(x)+B'(x)u_2(x)=A'(x)e^{3x}+B'(x)e^{-x}=0\qquad\text{(b)}\]
Damit vereinfacht sich die Ableitung $y_P'$ erheblich
\[y_P'=3A(x) e^{3x}-B(x)e^{-x}\qquad\text{(c)}\] 
und auch die zweite Ableitung bleibt noch \"uberschaubar,
\[y_P''=3A'(x)e^{3x}+9A(x)e^{3x}-B'(x)e^{-x}+B(x)e^{-x}.\qquad\text{(d)}\]

Jetzt setzen wir die Ausdr\"ucke f\"ur $y_P(x)$, $y_P'(x)$ und $y_P''(x)$
(Gl. (a), (c) und (d)) in die DGL ein und erhalten (nach entsprechendem
Vereinfachen)
\[3A'(x)e^{3x}-B'(x)e^{-x}=5\sin(2x).\qquad\text{(e)}\]
Wie im Fall der Variation der Konstanten bei DGL 1.\ Ordnung d\"urfen
keine Terme in $A(x)$ und $B(x)$ (also die Funktionen selbst)
\"ubrigbleiben, sonst liegt ein Rechenfehler vor! Das
Gleichungssystem (b) und
(e) 
\begin{eqnarray*}
A'(x)e^{3x}+B'(x)e^{-x}&=&0\\
3A'(x)e^{3x}-B'(x)e^{-x}&=&5\sin(2x),
\end{eqnarray*}
l\"a{\ss}t sich nach $A'(x)$ und $B'(x)$
aufl\"osen, und man erh\"alt nach kurzer Rechnung:
\begin{eqnarray*}
A'(x)&=&\frac{5}{4}\sin(2x)e^{-3x}\\
B'(x)&=&-\frac{5}{4}\sin(2x)e^{x}.
\end{eqnarray*}
Damit erh\"alt man durch direkte Integration
\begin{eqnarray*}
A(x)&=&-\frac{5}{32}\left ( 2 \cos(2x)+3\sin(2x)\right )e^{-3x} \\
B(x)&=&\frac{1}{4}\left ( 2 \cos(2x)-\sin(2x)\right )e^{x}
\end{eqnarray*}
Durch Einsetzen in den Ansatz (a) erh\"alt man schlie{\ss}lich
\[y_P=-\frac{7}{13}\sin 2x +\frac{4}{13} \cos 2x.\]

{\tiny Zum Vergleich noch kurz das Finden einer partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung mittels unbestimmten Ansatzes.  Formelsammlungen schlagen f\"ur
diesen Fall die Funktion
\[y_P=C\sin 2x+D\cos 2x\]
vor. Einsetzen von
\[y_P'=2C\cos 2x-2D\sin 2x\]
\[y_P''=-4C\sin 2x-4D\cos 2x\]
in die inhomogene Gleichung f\"uhrt zu
\[y_P''-2y_P'-3y_P=
\underbrace{-4C\sin 2x-4D\cos 2x}_{y_P''} - 
2 \underbrace{(2C\cos 2x-2D\sin 2x)}_{y_P'} -3
\underbrace{(C\sin 2x+D\cos 2x)}_{y_P}\]
\[=5 \sin (2x)\]
was sich zu
\[\underbrace{(4D-7C)}_5\sin 2x + 
\underbrace{(-4C-7D)}_0\cos 2x=5\cdot \sin (2x) + 0\cdot\cos(2x)\]
vereinfachen läßt.  Durch Koeffizientenvergleich  findet man die
Bestimmungsgleichungen für C und D
\begin{eqnarray*}
-4C-7D&=&0\\
-7C+4D&=&5
\end{eqnarray*}
und findet $C=-7/13$ und $D=4/13$. Somit ergibt sich als allgemeinste
Lösung der inhomogenen Gleichung 
\[y=y_H+y_P=A e^{3x}+B e^{-x}-\frac{7}{13}\sin 2x +\frac{4}{13} \cos 2x,\]
in \"Ubereinstimmung mit der durch Variation der Konstanten gefundenden
partikul\"aren L\"osung.}\hfill$\blacktriangleleft$


Zum Abschlu{\ss} jetzt noch die Variation der Konstanten in 
voller Allgemeinheit. Die inhomogene lineare DGL
\[y''+a_1(x)y'+a_2(x)y=h(x)\]
hat eine partikul\"are L\"osung der Form
\[y_P=A(x)u_1(x)+B(x)u_2(x),\]
wobei $u_1(x)$ und $u_2(x)$ die L\"osungen der zugeordneten
homogenen Gleichung sind. Rechnet man mit
diesem Ansatz (in analoger Weise zum obigen speziellen Beispiel)
weiter, so kommt man auf folgende Bedingungen f\"ur
$A'(x)$ und $B'(x)$
\begin{eqnarray*}
A'(x)u_1(x)+B'(x)u_2(x)&=&0\\
A'(x)u_1'(x)+B'(x)u_2'(x)&=&h(x)
\end{eqnarray*}
(diese Gleichungen entsprechen (b) und (e) des Beispiels).
Gleichungssysteme dieser Art l\"ost man am bequemsten nach der
Cramer'schen Methode (in allen Formelsammlungen zu finden).  Die
Vorraussetzung ist, da\ss{} die Determinante (im Zusammenhang mit
Differentialgleichungen als ``Wronski Determinante''
bekannt)\footnote{Die Determinante einer $2\times 2$ Matrix ist $\left
|
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d 
\end{array} 
\right | = ad-bc $
}
\[
W[u_1(x),u_2(x)]=\left |
\begin{array}{cc}
u_1(x) & u_2(x) \\
u_1'(x) & u_2'(x) 
\end{array} 
\right | \ne 0
\]
nicht verschwindet. In diesem Fall erh\"alt man n\"amlich 
\[
A'(x)=\frac{1}{W}\left |
\begin{array}{cc}
0 & u_2(x)  \\
 h(x) & u_2'(x)
\end{array} 
\right |
\]
und
\[
B'(x)=\frac{1}{W}\left |
\begin{array}{cc}
 u_1(x) & 0 \\
u_1'(x)  & h(x)
\end{array} 
\right |.
\]
Nach einigen Umformungen  kommt
man dann auf folgende ``Fertigformel'' f\"ur die 
gesuchten Hilfsfunktionen $A(x)$ und
$B(x)$:
\[A(x)=-\int dx\frac{h(x)u_2(x)}{W[u_1(x),u_2(x)]}\]
\[B(x)=\int dx\frac{h(x)u_1(x)}{W[u_1(x),u_2(x)]}.\]
}

\subsection{Mehr zu Anfangs- und Randbedingungen}
\label{arb}

{\em Dieser Abschnitt ist optional und als Vertiefung f\"ur Interessierte
gedacht und daher nicht Pr\"ufungsstoff}

{\small

Der Vollst\"andigkeit halber noch ein paar Anmerkungen zum Festlegen
der (Integrations){\-}kon{\-}stanten. Wie aus obigen Beispielen
erkenntlich, ben\"otigt man f\"ur eine lineare DGL 2.\ Ordnung genau
zwei Bedingungen, um die beiden Konstanten zu bestimmen.  (Bei
linearen DGL $n$-ter Ordnung treten $n$ Konstanten auf, die durch $n$
Bedingungen bestimmt werden m\"ussen.)  Verwendet man Bedingungen die
Funktion und Ableitung an einem bestimmten Punkt $x_0$ festlegen,
d.h.
\begin{eqnarray*}
y(x_0)&=&\alpha\\
y'(x_0)&=&\beta
\end{eqnarray*}
so spricht man von AB.  Dies entspricht den
bisher aufgetretenen Beispielen.

Man kann aber auch den Wert der Funktion an zwei Punkten $x_0$ und $x_1$
festlegen, d.h.
\begin{eqnarray*}
y(x_0)&=&\gamma\\
y(x_1)&=&\delta;
\end{eqnarray*}
in diesem Fall spricht man von {\em
Randbedingungen}.\footnote{Man kann auch den Wert der
Ableitung an zwei Punkten festgelegt werden: $y'(x_0)=\gamma$,
$y'(x_1)=\delta$.}

Randbedingungen k\"onnen auch etwas andere Form annehmen, z.B.\
kann das Verhalten f\"ur $x\rightarrow\infty$ oder $x\rightarrow
-\infty$ festgelegt werden. Besonders in solchen F\"allen ist oft eine der
Konstanten 0.  Beispiel: Die DGL $y''+y'-6y=0$ hat die allgemeine
L\"osung $y=Ae^{2x}+Be^{-3x}$.  Die Randbedingungen seien $y(0)=1$,
$y(x)\rightarrow 0$ f\"ur $x\rightarrow \infty$.  
Aus der ersten Bedingung folgt
\[y(0)=1=A+B\]
Da $e^{2x}$ f\"ur gro{\ss}e $x$ \"uber alle Grenzen w\"achst (gegen
unendlich geht), kann die zweite Bedingung nur durch $A=0$
erf\"ullt werden.  Damit folgt aus der ersten Bedingung $B=1$ und
die spezielle L\"osung der DGL lautet
\[y=e^{-3x}.\]

Als letzter Fall seien kurz {\em periodische} Randbedingungen
erw\"ahnt.  Diese haben die allgemeine Form
\[y(x)=y(x+L)\]
Als Beispiel betrachten  wir die L\"osung der DGL $y''+\omega^2 y=0$
unter solchen Randbedingungen.  Die allgemeine L\"osung lautet
\[y=A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x),\]
und die periodische Randbedingung verlangt, da{\ss}
\[A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x)=A\cos[\omega(x+L)]+B\sin[\omega(x+L)]\qquad\mbox{(A)}\]
Diese Randbedingung unterscheidet sich von den bisher behandelten
F\"allen, denn der Vergleich von linker und rechter Seite zeigt, da{\ss}
die Bedingung nur erf\"ullt sein kann, wenn $\cos(\omega x)=\cos[\omega(x+L)]$
und $\sin(\omega x)=\sin[\omega(x+L)]$. Zur Vermeidung umst\"andlicher
Manipulationen mit Summens\"atzen kann man sich der Tatsache bedienen,
da{\ss} diese beiden Bedingungen \"aquivalent sind zu
\[\cos(\omega x)+i\sin(\omega x)=\cos[\omega(x+L)]+i\sin[\omega(x+L)],\]
d.h.
\[\exp(i\omega x)=\exp[i\omega(x+L)]=\exp(i\omega x)\exp(i\omega L)\]
(Zwei komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn Real- und Imagin\"arteil
\"ubereinstimmen.) Daraus folgt aber weiters, da{\ss}
\[\exp(i\omega L)=1\quad\Rightarrow\quad\omega L=2k\pi\]
Somit kann die periodische Randbedingung (A) nur f\"ur {\em ganz bestimmte
Werte von $\mathrm{\omega}$} erf\"ullt werden
\[\omega=\frac{2k\pi}{L},\]
d.h.\ nur Funktionen folgender Form k\"onnen die periodischen
Randbedingungen erf\"ullen:
\[y=A\cos\left(\frac{2k\pi}{L}x\right)+B\sin\left(\frac{2k\pi}{L}x\right).\]
Die Werte von A und B sind noch frei und k\"onnen wie in anderen F\"allen
durch AB bestimmt werden.

\noindent{\paragraph{$\blacktriangleright$ Anwendung auf eindimensionale
Schr\"odingergl.\ des Teilchens im unendlich hohen Potentialtopf:}

Das folgende Beispiel illustriert die Bedeutung von Randbedingungen und der
R\"uckwirkung, die die L\"osung des mathematischen Problems (Erf\"ullung
der Randbedingung) auf die Physik hat. 
Die eindimensionale Schr\"odingergleichung (s.\ z.B.\ Allgemeine Chemie Vorlesung) hat die Form
\[
-\frac{h^2}{8\pi^2m}\Psi''(x)+V(x)\Psi(x)=E\Psi(x)\qquad\text{(A)}
\]
Dabei ist $\Psi(x)$ die gesuchte Wellenfunktion als Funktion des
Orts $x$, $h$ ist das Planck'sche Wirkungsquantum, $m$ ist die
Masse des Teilchens, $V(x)$ ist die potentielle Energie
des Teilchens, und E ist die Gesamtenergie des Teilchens (Summe aus
potentieller und kinetischer Energie).  F\"ur folgenden Spezialfall ist (A) elementar l\"osbar.
Die potentielle Energie des Teilchens sei in einem Bereich zwischen
$x=0$ und $x=L$ Null, d.h. $V(x)=0$ f\"ur  $0\le x\le L$,
\"uberall sonst  unendlich, d.h. $V(x)=\infty$ f\"ur $x<0$ und $x>L$. \"Uberall,
wo das Potential unendlich ist, kann sich das Teilchen nicht aufhalten, aus
dieser (physikalischen) \"Uberlegung folgt $\Psi(x)=0$ f\"ur $x<0$ und $x>L$.
Wir suchen daher die L\"osung der DGL
\[-\frac{h^2}{8\pi^2m}\Psi''(x)=E\Psi(x)\qquad\text{(B)}\]
auf dem Intervall $0\le x\le L $. Die Wellenfunktion mu{\ss} weiters aber
f\"ur alle $x$ stetig sein, und daraus ergeben sich Randbedingungen an den Punkten
$x=0$ und $x=L$. Wenn n\"amlich $\Psi(x)=0$ f\"ur alle $x<0$ und $x>L$, so
mu{\ss} auch gelten $\Psi(x=0)=\Psi(x=L)=0$, denn ansonsten h\"atte die
Funktion an diesen beiden Punkten eine Sprungstelle, was (wiederum
physikalisch) nicht sinnvoll ist.  Wir suchen also die L\"osung der Gleichung
(B) unter den Randbedingungen $\Psi(0)=\Psi(L)=0$. Durch Umformen
folgt
\[\Psi''(x)+\underbrace{\frac{8\pi^2mE}{h^2}}_{\omega^2}\Psi(x)=0,\qquad\text{(C)}\]
wobei wir die Abk\"urzung $\omega^2=8\pi^2 mE/h^2$ eingef\"uhrt haben. (C)
hat die charakteristische Gleichung
\[\lambda^2+\omega^2=0\]
mit L\"osungen $_2\lambda_1=\pm i\omega$, und die allgemeine
L\"osung der DGL ist
\[\Psi=A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x).\qquad{(D)}\]
L\"osung (D) von (B) mu{\ss} aber auch noch die Randbedingungen
erf\"ullen,\footnote{Da die Randbedingungen effektiv periodisch sind, k\"onnten
wir den eben untersuchten allgemeinen Fall anwenden, es ist jedoch instruktiv,
die L\"osung nocheinmal schrittweise zu suchen.} d.h.
\begin{eqnarray*}
\Psi(0)=A\cos(\omega 0)+B\sin(\omega 0)&=&0\\
\Psi(L)=A\cos(\omega L)+B\sin(\omega L)&=&0
\end{eqnarray*}
Aus der ersten Randbedingung folgt $A=0$, somit vereinfacht sich die
zweite Gleichung zu
\[B\sin(\omega L)=0,\]
die nur f\"ur $\omega L=n\pi$ bzw.
\[\omega=\frac{n\pi}{L}\,,\quad n\in\mathbb{Z}\qquad\text{(E)}\]
erf\"ullt ist.  Somit finden wir als
L\"osung von (B) (Schr\"odingergleichung f\"ur das eindimensionale
Teilchen im unendlich hohen Potentialtopf)
\[\Psi_n(x)=B\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\quad n=1,\,2,\, 3\ldots\]
Hierbei haben wir $n=0$ ausgeschlossen, denn $\Psi_0(x)=0$ ist keine
(physikalisch) sinnvolle L\"osung.  Negative $n$ bewirken nur eine
\"Anderung des Vorzeichens (und somit der Phase),\footnote{$\Psi_{-n}(x)=-\Psi_n(x)$} daher gen\"ugt es $n$ aus $\mathbb{N}$ zu w\"ahlen.

Der interessanteste Punkt ist jedoch, da{\ss} die Randbedingungen eine
Einschr\"ankung der m\"oglichen Energiewerte $E$ bedeutet, die das
System annehmen kann.  Aus (E) folgt ja (Einsetzen von $\omega^2=8\pi^2 mE/h^2$)
\[\frac{8\pi^2 mE}{h^2}=\frac{n^2\pi^2}{L^2}\]
bzw.\
\[E_n=\frac{n^2h^2}{8 L^2m}\]
Man nennt die $\Psi_n(x)$ auch Eigenfunktionen, und die $E_n$
die dazugeh\"origen Eigenwerte des Randwertproblems.  Die Notwendigkeit
der Quantisierung der Energie des Systems (nicht alle Werte von $E$ sind
m\"oglich) ergibt sich im mathematischen Formalismus der Schr\"odingergleichung quasi automatisch um die (physikalisch bedingten) Randbedingungen zu
erf\"ullen.
\hfill$\blacktriangleleft$
}

\newpage

\pagestyle{plain}
\setlength{\parskip}{1.5ex}

{\tiny
\noindent{\bfseries \small Verwendete Literatur}

\begin{itemize}
\item H.\ G.\ Zachmann ``Mathematik f\"ur Chemiker'', 4.\ Auflage, Verlag Chemie, Weinheim, Deerfield Beach, Basel 1981.
\item F.\ B.\ Hildebrand ``Advanced Calculus for Applications'', 2.\ Auflage, Prentice-Hall, Englewood Cliffs 1976.
\end{itemize}


\noindent{\bfseries \small Auflistung von \"Anderungen --- ``revision history''}

\begin{description}
\item[December 2002] Version 1.1\\
Zus\"atzliche Beispiele und Hinweise zum Finden der partikul\"aren
L\"osung von linearen DGL 2.\ Ordnung mit konstanten Koeffizienten.\\
Im optionalen Kapitel ``Anfangs- und Randbedingungen'' L\"osen der
eindimensionalen Schr\"odingergleichung f\"ur ein Teilchen im 
unendlich tiefen Potentialtopf.
\item[November 2002] Version 1.0 
\end{description}

\noindent{\bfseries \small GNU Free Documentation License}

\begin{center}
		GNU Free Documentation License\\
		  Version 1.2, November 2002\\[4ex]


 Copyright (C) 2000,2001,2002  Free Software Foundation, Inc.\\
     59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA  02111-1307  USA\\
 Everyone is permitted to copy and distribute verbatim copies\\
 of this license document, but changing it is not allowed.\\
\end{center}

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adding at the end of it, in parentheses, the name of the original
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Make the same adjustment to the section titles in the list of
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In the combination, you must combine any sections Entitled ``History''
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``History''; likewise combine any sections Entitled ``Acknowledgements'',
and any sections Entitled ``Dedications''.  You must delete all sections
Entitled ``Endorsements''.


6. COLLECTIONS OF DOCUMENTS

You may make a collection consisting of the Document and other documents
released under this License, and replace the individual copies of this
License in the various documents with a single copy that is included in
the collection, provided that you follow the rules of this License for
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You may extract a single document from such a collection, and distribute
it individually under this License, provided you insert a copy of this
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other respects regarding verbatim copying of that document.


7. AGGREGATION WITH INDEPENDENT WORKS

A compilation of the Document or its derivatives with other separate
and independent documents or works, in or on a volume of a storage or
distribution medium, is called an ``aggregate'' if the copyright
resulting from the compilation is not used to limit the legal rights
of the compilation's users beyond what the individual works permit.
When the Document is included an aggregate, this License does not
apply to the other works in the aggregate which are not themselves
derivative works of the Document.

If the Cover Text requirement of section 3 is applicable to these
copies of the Document, then if the Document is less than one half of
the entire aggregate, the Document's Cover Texts may be placed on
covers that bracket the Document within the aggregate, or the
electronic equivalent of covers if the Document is in electronic form.
Otherwise they must appear on printed covers that bracket the whole
aggregate.


8. TRANSLATION

Translation is considered a kind of modification, so you may
distribute translations of the Document under the terms of section 4.
Replacing Invariant Sections with translations requires special
permission from their copyright holders, but you may include
translations of some or all Invariant Sections in addition to the
original versions of these Invariant Sections.  You may include a
translation of this License, and all the license notices in the
Document, and any Warrany Disclaimers, provided that you also include
the original English version of this License and the original versions
of those notices and disclaimers.  In case of a disagreement between
the translation and the original version of this License or a notice
or disclaimer, the original version will prevail.

If a section in the Document is Entitled ``Acknowledgements'',
``Dedications'', or ``History'', the requirement (section 4) to Preserve
its Title (section 1) will typically require changing the actual
title.


9. TERMINATION

You may not copy, modify, sublicense, or distribute the Document except
as expressly provided for under this License.  Any other attempt to
copy, modify, sublicense or distribute the Document is void, and will
automatically terminate your rights under this License.  However,
parties who have received copies, or rights, from you under this
License will not have their licenses terminated so long as such
parties remain in full compliance.


10. FUTURE REVISIONS OF THIS LICENSE

The Free Software Foundation may publish new, revised versions
of the GNU Free Documentation License from time to time.  Such new
versions will be similar in spirit to the present version, but may
differ in detail to address new problems or concerns.  See
http://www.gnu.org/copyleft/.

Each version of the License is given a distinguishing version number.
If the Document specifies that a particular numbered version of this
License ``or any later version'' applies to it, you have the option of
following the terms and conditions either of that specified version or
of any later version that has been published (not as a draft) by the
Free Software Foundation.  If the Document does not specify a version
number of this License, you may choose any version ever published (not
as a draft) by the Free Software Foundation.


ADDENDUM: How to use this License for your documents

To use this License in a document you have written, include a copy of
the License in the document and put the following copyright and
license notices just after the title page:

{\em    Copyright (c)  YEAR  YOUR NAME.
    Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document
    under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2
    or any later version published by the Free Software Foundation;
    with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts.
    A copy of the license is included in the section entitled ``GNU
    Free Documentation License''.}

If you have Invariant Sections, Front-Cover Texts and Back-Cover Texts,
replace the ``with...Texts.'' line with this:

{\em    with the Invariant Sections being LIST THEIR TITLES, with the
    Front-Cover Texts being LIST, and with the Back-Cover Texts being LIST.}

If you have Invariant Sections without Cover Texts, or some other
combination of the three, merge those two alternatives to suit the
situation.

If your document contains nontrivial examples of program code, we
recommend releasing these examples in parallel under your choice of
free software license, such as the GNU General Public License,
to permit their use in free software.

}
\end{document}
